सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y): x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
Exercise-1.1-7
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दिया है, A = किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों का समुच्चय तथा R = {(x, y): x तथा Y में पेजों की संख्या समान है}
यहाँ, (x, x) $\in R, \forall x \in A$ क्योंकि पुस्तक x में पेजों की संख्या पुस्तक x के ही पेजों की संख्या के बराबर होगी। $\therefore R$, स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए (x, y)$ \in R \Rightarrow$ पुस्तक x तथा y में पेजों की संख्या समान है। $\Rightarrow$ पुस्तक y तथा x में पेजों की संख्या समान होगी। $ \Rightarrow$ (y, x) $\in R \therefore R$ एक सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(x, y) \in R$
$\Rightarrow$ पुस्तक x तथा पुस्तक y में पेजों की संख्या समान है तथा (y, z) $\in R $
$\Rightarrow $ पुस्तक y तथा पुस्तक z में पेजों की संख्या समान है। अतः पुस्तक x तथा z में पेजों की संख्या समान होगी।
$\Rightarrow$ $(x, z) \in R$
अतः R, एक संक्रमक संबंध है।
इसलिए R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक संबंध है। अतः R, एक तुल्यता संबंध है।
यहाँ, (x, x) $\in R, \forall x \in A$ क्योंकि पुस्तक x में पेजों की संख्या पुस्तक x के ही पेजों की संख्या के बराबर होगी। $\therefore R$, स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए (x, y)$ \in R \Rightarrow$ पुस्तक x तथा y में पेजों की संख्या समान है। $\Rightarrow$ पुस्तक y तथा x में पेजों की संख्या समान होगी। $ \Rightarrow$ (y, x) $\in R \therefore R$ एक सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(x, y) \in R$
$\Rightarrow$ पुस्तक x तथा पुस्तक y में पेजों की संख्या समान है तथा (y, z) $\in R $
$\Rightarrow $ पुस्तक y तथा पुस्तक z में पेजों की संख्या समान है। अतः पुस्तक x तथा z में पेजों की संख्या समान होगी।
$\Rightarrow$ $(x, z) \in R$
अतः R, एक संक्रमक संबंध है।
इसलिए R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक संबंध है। अतः R, एक तुल्यता संबंध है।
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