वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई $5 \ cm$ है और जो केंद्र पर $90^\circ$ का कोण अंतरित करती है।
Exercise-11.4-19
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जीवा $AB = 5$ सेमी वृत्त को दो खंडों लघु खंड $\text{APB}$ और प्रमुख खंड $\text{AQB}$ में विभाजित करता है। हमें बड़े और छोटे खंड के क्षेत्रफल में अंतर का पता लगाना है।
यहाँ, हमें दिया गया है कि $\theta = 90^\circ$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac { 1 } { 2 }$ आधार $\times$ ऊँचाई $= \frac { 1 } { 2 }r \times r = \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$
लघु खंड का क्षेत्रफल $\text{APB}$
$= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } }– \triangle AOB$ का क्षेत्रफल
$= \frac { \pi r ^ { 2 } 90 ^ { \circ } } { 360 ^ { \circ } } - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$
$\Rightarrow$ लघु खंड का क्षेत्रफल $= \left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) …(i)$
बड़े खंड $\text{AQB}$ का क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु खंड का क्षेत्रफल
$= \pi r^2 - \left[ \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right]$
$\Rightarrow$ प्रमुख खंड $\text{AQB}$ का क्षेत्रफल $\text{AQB} = \left[ \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right] …(ii)$
प्रमुख और लघु खंड के क्षेत्रों के बीच अंतर
$= \left( \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) - \left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right)$
$= \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 }$
$\Rightarrow$ आवश्यक क्षेत्र =$ \frac { 2 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 }$
समबाहू $\triangle OAB$ में,
$r^2 + r^2 = AB^2$
$\Rightarrow 2r^2 = 5^2$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 25 } { 2 }$
इसलिए, आवश्यक क्षेत्र $= \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi \times \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 } { 2 } \right] = \left[ \frac { 25 } { 4 } \pi + \frac { 25 } { 2 } \right]cm^2$
यहाँ, हमें दिया गया है कि $\theta = 90^\circ$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac { 1 } { 2 }$ आधार $\times$ ऊँचाई $= \frac { 1 } { 2 }r \times r = \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$
लघु खंड का क्षेत्रफल $\text{APB}$
$= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } }– \triangle AOB$ का क्षेत्रफल
$= \frac { \pi r ^ { 2 } 90 ^ { \circ } } { 360 ^ { \circ } } - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$
$\Rightarrow$ लघु खंड का क्षेत्रफल $= \left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) …(i)$
बड़े खंड $\text{AQB}$ का क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु खंड का क्षेत्रफल
$= \pi r^2 - \left[ \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right]$
$\Rightarrow$ प्रमुख खंड $\text{AQB}$ का क्षेत्रफल $\text{AQB} = \left[ \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right] …(ii)$
प्रमुख और लघु खंड के क्षेत्रों के बीच अंतर
$= \left( \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) - \left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right)$
$= \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 }$
$\Rightarrow$ आवश्यक क्षेत्र =$ \frac { 2 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 }$
समबाहू $\triangle OAB$ में,
$r^2 + r^2 = AB^2$
$\Rightarrow 2r^2 = 5^2$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 25 } { 2 }$
इसलिए, आवश्यक क्षेत्र $= \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi \times \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 } { 2 } \right] = \left[ \frac { 25 } { 4 } \pi + \frac { 25 } { 2 } \right]cm^2$
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