व्यास $20 \ cm$ वाले वृत्त की एक जीवा उसके केंद्र पर $90^\circ$ का कोण बनाती है। इस वृत्त के संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए $(\pi = 3.14$ का प्रयोग कीजिए$)।$
example-12.4-1
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मान लीजिए कि $AB$ केंद्र और $10 \ cm$ त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा है $($देखिए आकृति$)।$
यहाँ, $\angle AOB = 90^\circ$ है तथा हमें दीर्घ वृत्तखंड $($जो छायांकित है$)$ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। क्योंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है, इसलिए दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $= 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$ है।
अतः, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{270}{360} \times \pi \times(10)^{2} \ cm^2$
$=\frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 \ cm^2$
$= 75 \times 3.14 \ cm^2 = 235.5 \ cm^2$
अब, $\therefore OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $OM\perp AB$ खींचिए।
अब, $\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ और $\angle \mathrm{AOM}=\frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^\circ$
अब, $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः, $AM =10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \ cm$
इसलिए, $AB = 10\sqrt2 \ cm$ तथा $OM = OA \cos 45^\circ =10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{~cm}=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
अतः, $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times 10 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2} = 50 \ cm^2$
इसलिए, वाँछित दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल
$= 235.5 \ cm^2 + 50 \ cm^2 = 285.5 \ cm^2$
$\triangle OAB$ के क्षेत्रफल के लिए अन्य विधिः
क्योंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है, इसलिए
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \times \mathrm{OB}$
$=\frac{1}{2} \times 10 \times 10 \ cm^2 = 50 \ cm^2$
यहाँ, $\angle AOB = 90^\circ$ है तथा हमें दीर्घ वृत्तखंड $($जो छायांकित है$)$ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। क्योंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है, इसलिए दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $= 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$ है।
अतः, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{270}{360} \times \pi \times(10)^{2} \ cm^2$
$=\frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 \ cm^2$
$= 75 \times 3.14 \ cm^2 = 235.5 \ cm^2$
अब, $\therefore OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $OM\perp AB$ खींचिए।
अब, $\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ और $\angle \mathrm{AOM}=\frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^\circ$
अब, $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः, $AM =10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \ cm$
इसलिए, $AB = 10\sqrt2 \ cm$ तथा $OM = OA \cos 45^\circ =10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{~cm}=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
अतः, $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times 10 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2} = 50 \ cm^2$
इसलिए, वाँछित दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल
$= 235.5 \ cm^2 + 50 \ cm^2 = 285.5 \ cm^2$
$\triangle OAB$ के क्षेत्रफल के लिए अन्य विधिः
क्योंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है, इसलिए
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \times \mathrm{OB}$
$=\frac{1}{2} \times 10 \times 10 \ cm^2 = 50 \ cm^2$
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