Question 12 Marks
यदि $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1,$ तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\right)^{m} = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i^{2}+2 i}{1-i^{2}}\right)^{m} = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1-1+2 i}{1+1}\right)^{m} = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{2 i}{2}\right)^{m} = 1$
$\Rightarrow i^m= 1$
$m = 4$
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किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1 $ और $z_2 $ के लिए, सिद्ध कीजिए: $Re (z_1 z_2) = Re z_1Re z_2- Imz_1Imz_2$
Answerमाना $z_1 = x_1+ iy_1 $ और $z_2= x_2+ iy_2$
$\Rightarrow Re(z_1) = x_1, Im (z_1) = y_1$_
तथा $Re(z_2) = x_2, Im(z_2) = y_2 ...(i)$
अब $z_1z_2 = (x_1+ iy_1) (x_2+ iy_2)$
$\Rightarrow z_1z_2 = x_1x_2+ ix_1y_2+ ix_2y_1+ i_2y_1y_2$
$\Rightarrow z_1z_2 = x_1x_2+ i(x_1y_2+ x_2y_2) - y_1y_2$
$\Rightarrow z_1z_2 = x_1x_2- y_1y_2+ i(x_1y_2+ x_2y_1)$
$\therefore Re (z_1z_2) = x_1x_2- y_1y_2$_
$= Re(z_1) Re(z_2) - Im(z_1) Im(z_2)$
View full question & answer→Question 32 Marks
यदि $(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB$ है तो दर्शाइए कि $(a^2+ b^2)(c^2+ d^2)(e^2+ f^2)(g^2+ h^2) = A^2+ B^2$
Answer$\because (a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB ...(i)$
दोनों ओर सयुग्मी लेने पर,
$(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB ...(ii)$
समीकरण (i) और (ii) का गुणा करने पर,
$(a^2- i^2b^2)(c^2- i^2d^2)(e^2- i^2f^2)(g^2- i^2h^2) = A^2- i^2B^2$
$\Rightarrow (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2) = A^2 + B^2$
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समीकरण $|1 - i|^x= 2^x$ के शून्येत्तर पूर्णाक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer$|1 - i|^x= 2^x$
$\Rightarrow \left\{\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}\right\}^{x}=2^{x}$
$\Rightarrow (\sqrt{1+1})^{x}=2^{x}$
$\Rightarrow (\sqrt{2})^{x}=(\sqrt{2})^{2 x} $
$\frac{(\sqrt{2})^{2 x}}{(\sqrt{2})^{x}} = 1$
$\Rightarrow (\sqrt{2})^{x}=1=(\sqrt{2})^{0}$
$\therefore x = 0$
अतः इस समीकरण का कोई भी मूल शून्येत्तर (non-zero) नहीं है।
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माना $ z_1= 2 - i, z_2= -2 + i, Im\left(\frac{1}{z_{1} \bar{z}_{1}}\right)$ का मान निकालिए।
Answer$z_1= 2 - i, z_2= -2 + i,$
$\frac{1}{z_{1} \overline{z_{1}}} =\frac{1}{(2-i)(2+i)}=\frac{1}{4-i^{2}}$
$= \frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}=\frac{1}{5} + 0i$
$\Rightarrow {Im}\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z_{1}}}\right)= 0$
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माना $z_1= 2 - i, z_2= -2 + i, Re \left(\frac{z_{1} z_{2}}{\bar{z}_{1}}\right)$ का मान निकालिए।
Answer$z_1= 2 - i, z_2= -2 + i,$
$\frac{z_{1} z_{2}}{z_{1}}=\frac{(2-i)(-2+i)}{2+i}$
$= \frac{-4+2 i+2 i-i^{2}}{2+i}$
$\Rightarrow \frac{z_{1} z_{2}}{z_{1}} =\frac{-4+4 i+1}{2+i}$
$= \left(\frac{-3+4 i}{2+i}\right) \times\left(\frac{2-i}{2-i}\right)$
$= \frac{-6+3 i+8 i-4 i^{2}}{4-i^{2}}$
$= \frac{-6+11 i+4}{4+1}$
$\Rightarrow \frac{z_{1} z_{2}}{z_{1}}=\frac{-2}{5}+\frac{11}{5} i$
$\therefore{Re}\left(\frac{z_{1} z_{2}}{\overline{z_{1}}}\right)=-\frac{2}{5}$
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$\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3} =\left\{\left(i^{2}\right)^{9}+\frac{i}{i^{26}}\right\}^{3}$
$= \left\{(-1)^{9}+\frac{i}{(-1)^{13}}\right\}^{3} $
$\left\{\because i^{26}=\left(i^{2}\right)^{13}\right\}$
$= (-1 - i)^3$
$= -(1 + i)^3$
$= -(1 + i)^2(1 + i)$
$= -(1 + i^2+ 2i)(1 + i)$
$= -(1 - 1 + 2i)(1 + i)$
$= -2i(1 + i)$
$= -2i - 2i^2$
$= -2i + 2 = 2 - 2i$
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$x^{2}+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ को हल कीजिए।
Answer$x^{2}+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
$\Rightarrow x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0
$\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 0
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1-2 \sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}$ = $-\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right)=\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right) i^{2}$
$\Rightarrow x+\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{2 \sqrt{2}-1}}{2} i$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{2 \sqrt{2}-1} i}{2}$
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$\sqrt 3x^2 - \sqrt 2x + 3\sqrt 3 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$\sqrt 3x^2 - \sqrt 2x + 3\sqrt 3 = 0$
यहां, $a = \sqrt 3, b = -\sqrt 2, c = 3\sqrt 3$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-\sqrt{2})^{2}-4 \times \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-36}}{2 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-34}}{2 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34} i}{2 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{17} i}{\sqrt{6}}$
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$\sqrt 2 x^2 + x + \sqrt 2= 0 $ को हल कीजिए।
Answer$\sqrt 2x^2 + x + \sqrt 2 = 0$
यहां $a = \sqrt 2, b = 1, c = \sqrt 2$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{2 \sqrt{2}}$
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$x^2 - x + 2 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$x^2 - x + 2 = 0$
यहां $a = 1, b = -1, c = 2$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{?}-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1}$
$\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{7} i}{2}$
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$x^2 + 3x + 5 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$x^2 + 3x + 5 = 0$
यहां $a = 1, b = 3, c = 5$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^{2}-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1}$
$\Rightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{9-20}}{2} $
$\Rightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{11} i}{2}$
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$-x^2 + x - 2 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$-x^2 + x - 2 = 0$
यहां $a = -1, b = 1, c = -2$
$\because x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \times(-1) \times(-2)}}{2 \times(-1)}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{-2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{-2}$
$\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{7} i}{2}$
View full question & answer→Question 142 Marks
$x^2 + 3x + 9 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$x^2 + 3x + 9 = 0$
$\Rightarrow x^{2}+3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2} + 9 = 0$
$\Rightarrow \left\{x^{2}+3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right\}-\frac{9}{4} + 9 = 0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{27}{4} = 0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{27}{4}i^2 = 0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} i\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} i\right)\left(x+\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2} i\right) = 0$
$\therefore x=\frac{-3-3 \sqrt{3} i}{2}, x=\frac{-3+3 \sqrt{3} i}{2}$
View full question & answer→Question 152 Marks
$2x^2 + x + 1 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$2x^2 + x + 1 = 0$
यहां $a = 2, b = 1, c = 1$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{4}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{4}$
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$x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0$ को हल कीजिए।
Answer$x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0$
$\Rightarrow \sqrt{2} x^{2}+x+\sqrt{2}$ = 0
यहां a = $\sqrt 2$, b = 1, c = $\sqrt 2$
$\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{7} i}{2 \sqrt{2}}$
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$x^2 + 3 = 0$ को हल कीजिए।
Answer$x^2+ 3 = 0$
$\Rightarrow x^2- 3i^2= 0$
$\Rightarrow x^2- (\sqrt{3} i)^{2} = 0$
$(x + \sqrt{3} i)(x-\sqrt{3} i)^{2} = 0$
$\therefore x=-\sqrt{3} i, \sqrt{3} i$
View full question & answer→Question 182 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: i
Answerमाना $z = i = r(\cos \theta + i \sin \theta) ...(i)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta = 0, r \sin \theta = 1$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 0 + 1 = 1$
$r^2 \times 1 = 1$
$\Rightarrow r = 1$
$\therefore \cos \theta = 0, \sin \theta = 1$
$\Rightarrow \theta =\frac{\pi}{2}$
समीकरण $(1)$ से, धुवीय रूप
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= 1\left\{\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right\}$
View full question & answer→Question 192 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: $\sqrt 3 + i$
Answerमाना $z = \sqrt 3 + i = r(\cos \theta + i \sin \theta) ...(i)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta=\sqrt{3}$ तथा $r \sin \theta = 1$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 3 + 1 = 4$
$r^2 \times 1 = 4$
$r = \sqrt{4} = 2$
$\Rightarrow \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta=\frac{1}{2} $
$\therefore \theta =\frac{\pi}{6}$
समीकरण $(i)$ से, ध्रुवीय रूप है:
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= 2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)$
View full question & answer→Question 202 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: $-3$
Answerमाना $z = -3 = r(\cos \theta + i \sin \theta) ...(i)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta = -3$, और $r \sin \theta = 0$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (-3)^2+ 0^2$
$r^2 \times 1 = 9 + 0 = 9$
$\therefore r = 3$
$\Rightarrow \cos \ \theta = -1 तथा \sin \theta = 0$
$\therefore \theta = \pi$
समीकरण $(i)$ से, ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= 3(\cos \pi + i \sin \pi)$
View full question & answer→Question 212 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: $-1 - i$
Answerमाना $z = -1 - i = r(\cos \theta + i \sin \theta) ...(i)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = -1$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 + 1$
$\Rightarrow r^2 \times 1 = 2$
$\therefore r = \sqrt{2}$
$\Rightarrow \cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \theta=-\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-3 \pi}{4} (\because \theta$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।$)$
समीकरण $(i)$ से, ध्रुवीय रूप
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= \sqrt{2}\left(\cos \frac{-3 \pi}{4}+i \sin \frac{-3 \pi}{4}\right)$
View full question & answer→Question 222 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: $-1 + i$
Answerमाना $z = -1 + i = r(\cos \theta + i \sin \theta) ...(i)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = 1$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 + 1$
$\Rightarrow r^2 \times 1 = 2$
$\therefore r = \sqrt{2}$
$\Rightarrow \cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \theta=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} (\because \theta $ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।$)$
$\therefore$ समीकरण $(i)$ से, ध्रुवीय रूप
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= \sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$
View full question & answer→Question 232 Marks
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए: $1 – i$
Answerमाना $ z = 1 - i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना से,
$r \cos \theta = 1 ...(i)$
तथा $r \sin \theta = -1 ...(ii)$
वर्ग करके जोड़ने पर,
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 + 1$
$r^2 \times 1 = 2$
$\Rightarrow r = \sqrt{2}$
समीकरण $(i), (ii) $ से, $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \theta=\frac{-\pi}{4} (\because \theta, IV$ चतुर्थांश में हैं।$)$
समीकरण $(i)$ में ध्रुवीय रूप
z$ = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= \sqrt{2}\left\{\cos \left(\frac{-\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right)\right\}$
View full question & answer→Question 242 Marks
सम्मिश्र संख्या का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए: z = -$\sqrt 3$ + i
Answerz = -$\sqrt 3$ + i, संगत बिन्दु (-$\sqrt 3$, 1) जो कि द्वितीय चतुर्थाश में स्थित हैं।
मापांक |z| = $\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}}$
= $\sqrt{3+1}=\sqrt{4}$ = 2
तथा कोणांक $\theta=\tan ^{-1}\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|$ = $\tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \frac{\pi}{6}$
= $\pi-\frac{\pi}{6}$ ($\because$ z द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।)
= $\frac{5 \pi}{6}$
View full question & answer→Question 252 Marks
सम्मिश्र संख्या का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए: $z = -1 - i \sqrt 3$
Answer$z = -1 - i\sqrt{3},$ संगत बिन्दु $(-1, -\sqrt{3})$
मापांक $|z| = \sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}$
$= \sqrt{1+3}=\sqrt{4} = 2$
तथा कोणांक$ \theta=\tan ^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right|$
$= \tan^{-1} \sqrt{3}$
$= -\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \{\because z$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है$\}$
$= -\frac{2 \pi}{3}$
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सम्मिश्र संख्या में $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए: $(\frac 13 + 3i)^3$
Answer$\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^{3} = \left(\frac{1}{3}+3 i\right)^{2}\left(\frac{1}{3}+3 i\right)$
$= \left(\frac{1}{9}+9 i^{2}+2 \times \frac{1}{3} \times 3 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right)$
$= \left(\frac{1}{9}-9+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right)$
$= \left(\frac{-80}{9}+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right)$
$= \frac{-80}{27}-\frac{80}{3} i+\frac{2}{3}i + 6i^2$
$= \frac{-80}{27}-\frac{78}{3} i - 6$
$= \left(\frac{-80}{27}-6\right) - 26i = \frac{-242}{27} - 26i$
View full question & answer→Question 272 Marks
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए: $\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}$
Answerz = $\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}$
= $\frac{9-5 i^{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2} i-\sqrt{3}+i \sqrt{2}}$
= $\frac{9+5}{0+2 \sqrt{2} i}=\frac{14}{2 \sqrt{2} i} \times \frac{i}{i}$
= $\frac{7}{\sqrt{2}} \frac{i}{i^{2}}=\frac{-7}{\sqrt{2}} i$
= 0 - $\frac{7}{\sqrt{2}} i$
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सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए: $\sqrt 5 + 3i$
Answerमाना $z = \sqrt 5 - 3i$
इसका गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1}= \frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{5}+3 i}$
$= \frac{\sqrt{5}-3 i}{(\sqrt{5}+3 i)(\sqrt{5}-3 i)}$
$= \frac{\sqrt{5}-3 i}{5-9 i^{2}}$
$= \frac{\sqrt{5}-3 i}{5+9}=\frac{\sqrt{5}-3 i}{14}$
$= \frac{\sqrt{5}}{14}-\frac{3 i}{14}$
View full question & answer→Question 292 Marks
सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:$ 4 - 3i$
Answerमाना $z = 4 - 3i$
इसका गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1}= \frac{1}{z}=\frac{1}{4-3 i}$
$= \frac{1}{4-3 i} \times\left(\frac{4+3 i}{4+3 i}\right)$
$= \frac{4+3 i}{16-9 i^{2}}$
$= \frac{4+3 i}{16+9}=\frac{4+3 i}{25}$
$= \frac{4}{25}+\frac{3}{25}i$
View full question & answer→Question 302 Marks
सम्मिश्र संख्या में $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए: $(-2 - \frac 13i)^3$
Answer$(-2 - \frac 13i)^3 = \left\{-\left(2+\frac{1}{3} i\right)\right\}^{3}$
$= -\left(2+\frac{1}{3} i\right)^{3}$
$= -\left\{2^{3}+\left(\frac{1}{3} i\right)^{3}+3 \times 2 \times \frac{i}{3}\left(2+\frac{-i}{3}\right)\right\}$
$= -\left\{8-\frac{1}{27} i+2 i\left(2+\frac{i}{3}\right)\right\}$
$= -8 + \frac{1}{27} i-4 i-\frac{2}{3} i^{2}$
$= \left(-8+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{27}-4\right) i = \frac{-22}{3}-\frac{107}{27} i$
View full question & answer→Question 312 Marks
$9x^2+ 2 = 0$ को हल कीजिए।
Answerहमें दिया है $x^2+ 2 = 0$
या $x^2= -2$
अर्थात् $x = \pm \sqrt{-2}=\pm \sqrt{2}i$
View full question & answer→Question 322 Marks
सम्मिश्र संख्या $\frac{-16}{1+i \sqrt{3}}$ को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए।
Answerदी हुई सम्मिश्र संख्या $\frac{-16}{1+i \sqrt{3}}=\frac{-16}{1+i \sqrt{3}} \times \frac{1-i \sqrt{3}}{1-i \sqrt{3}}$
$= \frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1-(i \sqrt{3})^{2}}=\frac{-16(1-i \sqrt{3})}{1+3}$
$= -4(1 - i\sqrt{3}) = -4 + i4\sqrt{3}$
माना $-4 = r \cos \theta, 4 \sqrt{3}=r \sin \theta$
दोनों ओर वर्ग करके और जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है $16 + 48 = r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
जिससे हमें प्राप्त होता है, $r^2= 64$, अर्थात् $r = 8$
इसलिए, $\cos \theta=-\frac{1}{2}, \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \theta = \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}$
इसलिए, आवश्यक ध्रुवीय रूप $= 8\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ View full question & answer→Question 332 Marks
सम्मिश्र संख्या z = 1 + i$\sqrt{3}$ को ध्रुवीय रूप में निरूपित कीजिए।
Answerमाना 1 = r cos $\theta, \sqrt{3}=r \sin \theta$
दोनों तरफ का वर्ग करके और जोड़ने पर हमें प्राप्त है,
अर्थात् r = $\sqrt{4}$ = 2 (प्रतिदर्श रूप से, r > 0)
इसलिए cos $\theta=\frac{1}{2}, \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$
इनसे प्राप्त होता है $\theta=\frac{\pi}{3}$
इसलिए अपेक्षित ध्रुवीय रूप z = 2$\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)$
सम्मिश्र संख्या संख्या को आकृति में दर्शाया गया है।
View full question & answer→Question 342 Marks
$2 - 3i$ का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
Answerमान लिया $z = 2 - 3i$
तब $\bar z = 2 + 3i$ और $|z|^2= 2^2+ (-3)^2= 13$
इसलिए, $2 - 3i$ का गुणात्मक प्रतिलोम
$z^{-1}= \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i $ प्राप्त होता है।
ऊपर दिया गया सारा हल निम्नलिखित ढंग से भी दिखाया जा सकता है:
$z^{-1}= \frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)}=\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}} = \frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}$
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$(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ को a + ib के रूप में व्यक्त करें।
Answerहमें प्राप्त है $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ = $(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$
= -6 + $\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}$ = $(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i$
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$(5 - 3i)^3 $ को $a + bi$ के रूप में व्यक्त करें।
Answerहमें प्राप्त है, $(5 - 3i)^3= 5^3- 3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$
$= 125 - 225i - 135 + 27i = -10 - 198i$
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सम्मिश्र संख्या $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}$ को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए।
Answerहमें प्राप्त है, $z = \frac{i-1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i}$
$= \frac{2(i-1)}{1+\sqrt{3} i} \times \frac{1-\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}=\frac{2(i+\sqrt{3}-1+\sqrt{3} i)}{1+3} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{2} i$
मान लीजिए$ \frac{\sqrt{3}-1}{2}=r \cos \theta, \frac{\sqrt{3}+1}{2}=r \sin \theta$
दोनों ओर वर्ग करके, जोड़ते हुए हमें प्राप्त होता है,
$r^2= \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2} = \frac{2\left((\sqrt{3})^{2}+1\right)}{4}=\frac{2 \times 4}{4} = 2$
अर्थात् $r = \sqrt{2}$ इससे
$\cos \theta=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}, \sin \theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है
इसलिए $\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{12}$
अर्थात्,$ \sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{12}+i \sin \frac{5 \pi}{12}\right)$ ध्रुवीय रूप है।
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$\theta$ का वास्तविक मान बताइए, जबकि $\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ मात्र वास्तविक है।
Answerहमें प्राप्त है, $\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}=\frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
= $\frac{3+6 i \sin \theta+2 i \sin \theta-4 \sin ^{2} \theta}{1+4 \sin ^{2} \theta}$
= $\frac{3-4 \sin ^{2} \theta}{1+4 \sin ^{2} \theta}+\frac{8 i \sin \theta}{1+4 \sin ^{2} \theta}$
दिया हुआ है कि सम्मिश्र संख्या वास्तविक है।
इसलिए $\frac{8 \sin \theta}{1+4 \sin ^{2} \theta}$ = 0 अर्थात् sin $\theta$ = 0
अत $\theta=n \pi, n \in$ Z
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यदि $x + iy = \frac{a+i b}{a-i b}$ है तो, सिद्ध कीजिए कि $x^2+ y^2= 1$
Answerहमें प्राप्त है, $x + iy = \frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}} = \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$
इसलिए, $x - iy = \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$
इस प्रकार $x^2+ y^2= (x + iy)(x - iy) = \frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}$
$= \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}} = 1$
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सम्मिश्र संख्या का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{1+i}$
Answer$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}$ = $\frac{1-i}{1+1}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$
मान लीजिए $\frac{1}{2}=r \cos \theta,-\frac{1}{2}=r \sin \theta$
दोनों ओर वर्ग करके जोड़ते हुए हमें प्राप्त होता है,
r = $\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos \theta=\frac{1}{2}, \sin \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
इसलिए $\theta=\frac{-\pi}{4}$
$\frac{1}{1+i}$ का मापांक $\frac{1}{\sqrt{2}}$ तथा कोणांक $\frac{-\pi}{4}$ है।
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सम्मिश्र संख्या का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए: $\frac{1+i}{1-i}$
Answerहमें प्राप्त है, $\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}=\frac{1-1+2 i}{1+1} = i = 0 + i$
अब, $0 = r \cos \theta, 1 = r \sin \theta$
दोनों ओर वर्ग करके जोड़ते हुए हमें प्राप्त होता है,
$r^2= 1$ अर्थात् $r = 1$ तथा $\cos \theta = 0, \sin \theta = 1$
इसलिए, $\theta=\frac{\pi}{2}$
इस प्रकार $\frac{1+i}{1-i}$ का मापांक $1$ है तथा कोणांक $\frac{\pi}{2}$ होगा।
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$\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}=\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}$ = $\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i}$
= $\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}$ = $\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i$
इसलिए $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी, $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ है।
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$\sqrt{5} x^{2}+x+\sqrt{5} = 0$ को हल कीजिए।
Answerयहाँ, समीकरण का विविक्तकर $1^2- 4 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 1 - 20 = -19$ है।
इसलिए हल $\frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2 \sqrt{5}}=\frac{-1 \pm \sqrt{19} i}{2 \sqrt{5}}$ है।
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$x^2+ x + 1 = 0$ को हल कीजिए।
Answerयहाँ $b^2- 4ac = 1^2- 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$
इसलिए, इसके हल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \times 1}=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ हैं
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यदि 4x + i(3x - y) = 3 + i(-6), जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, तब x और y ज्ञात कीजिए।
Answerहमें दिया है
4x + i(3x - y) = 3 + i(-6) ...(i)
दोनों ओर के वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को समान लेते हुए, हमें प्राप्त होता है,
4x = 3, 3x - y = -6,
जिन्हें युगपत् हल करने पर, x = $\frac{3}{4}$ और y = $\frac{33}{4}$
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