Question 11 Mark
सिद्ध कीजिए: $\sin ^{-1} \frac{8}{17}$ + $\sin ^{-1} \frac{3}{5}$ = $\tan ^{-1} \frac{77}{36}$
Answerज्ञात है, $ \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$ + $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ = $\tan ^{-1} \frac{77}{36}$
बायाँ पक्ष = $ \sin ^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$ + $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ = $\sin ^{-1}\left[\frac{8}{17} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}+\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^{2}}\right] \\ $ $[\because \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=$$\sin ^{-1}\left(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}\right]$
= $\sin ^{-1}\left(\frac{8}{17} \times \frac{4}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{15}{17}\right)$ = $\sin ^{-1}\left(\frac{77}{85}\right)$
= $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{77}{85}}{\sqrt{1-\left(\frac{77}{85}\right)^{2}}}\right] $ $\left(\because \sin ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$
= $\tan ^{-1}\left(\frac{77}{85} \times \frac{85}{36}\right) \times \tan ^{-1} \frac{77}{36}$ = दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
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सिद्ध कीजिए: $2 \sin^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{24}{7}$
Answerज्ञात है, $2 \sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{24}{7}$
बायाँ पक्ष $= 2 \sin^{-1} \frac{3}{5} = \sin^{-1} \left[2 \times \frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}\right] \left[\because 2 \sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left(2 y \sqrt{1-y^{2}}\right)\right]$
$= \sin^{-1}\left(2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5}\right)^= \sin ^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}}}\right] \left(\because \sin ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\frac{576}{625}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{25} \times \frac{25}{7}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) =$ दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
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$\tan^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ फलन की गणना कीजिए।
Answer$\tan^{-1} \left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ = $\tan ^{-1}\left[\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right]$, जहाँ $\frac{\pi}{6} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ (मुख्य अंतराल)
$\therefore $ $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ = $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)$ = $\frac{\pi}{6}$ [$\because \tan (\pi + \theta) = \tan \theta$]
View full question & answer→Question 41 Mark
$\cos^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ फलन की गणना कीजिए।
Answer$\cos^{-1} \left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi+\frac{\pi}{6}\right)\right],$
जहाँ$ \frac{\pi}{6} \in[0, \pi]$
$[$इस प्रकार, दिए गए कोण का अंतराल अर्थात्] के मध्य नहीं है, इसलिए हम इसे ऐसे परिवर्तित करेंगे कि इसका मान $[0, \pi]$ अंतराल के मध्य हो।$]$
$= \cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] = \frac{\pi}{6} [\because \cos (2 \pi+\theta)=\cos \theta]$
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$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ व्यंजक की गणना कीजिए।
Answer$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ = $\tan ^{-1}\left[\tan \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right]$ = $\tan ^{-1}\left(-\tan \frac{\pi}{4}\right)$ $[\because \tan (\pi-\theta)=-\tan \theta]$
= $\tan ^{-1}\left[\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]$ $[\because-\tan \theta=\tan (-\theta)]$
= $-\frac{\pi}{4}$ जो $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के मध्य स्थित है।
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$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) $ व्यंजक की गणना कीजिए।
Answer$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ = $\sin ^{-1}\left[\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right]$ = $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) $ $[\because \sin (\pi-\theta)=\sin \theta]$
= $\frac{\pi}{3}$ जो $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के बीच स्थित है।
नोट $ \sin ^{-1}(\sin \theta)$ का मान केवल $\theta $ तब होगा जब $\theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
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$\cot (\tan^{-1} a + \cot^{-1} a) $ में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\cot (\tan^{-1} a + \cot^{-1} a) = \cot \frac{\pi}{2}$ = 0 $\left(\because \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)$
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$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = $\theta$ $ \Rightarrow $ $\cos \theta$ = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
हमें ज्ञात है कि $\cos ^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर [0, $\pi$] है।
$\therefore$ $\cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $-\cos \frac{\pi}{4}$ = $\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ $[\because \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta]$
$\Rightarrow $ $\theta=\frac{3 \pi}{4}$, जहाँ $\theta \in[0, \pi]$ $\Rightarrow$ $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = $\frac{3 \pi}{4} $
अतः $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान $ \frac{3 \pi}{4}$ है।
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$\cot ^{-1}(\sqrt{3})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\cot ^{-1}(\sqrt{3})=\theta$ $ \Rightarrow$ cot $\theta$ = $\sqrt{3}$
हमें ज्ञात है कि $\cot ^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर (0, $\pi$) है।
$\therefore$ cot $\theta$ = $\sqrt{3}$ = cot $ \frac{\pi}{6}$ $\Rightarrow$ $\theta$ = $ \frac{\pi}{6}$, जहाँ $\theta \in(0$, $\pi)$ $\Rightarrow $ $\cot ^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}$
अतः $ \cot ^{-1}(\sqrt{3})$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।
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$\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ = $\theta$ $ \Rightarrow$ $ \sec \theta$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$
हमें ज्ञात है कि $ \sec ^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर [0, $\pi$] -$ \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ है।
$\therefore$ $ \sec \theta=\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\sec \frac{\pi}{6}$ $ \Rightarrow$ $ \theta=\frac{\pi}{6}$, जहाँ $\theta \in[0, \pi]-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ $\Rightarrow$ $ \sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$= $=\frac{\pi}{6}$
अतः $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।
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$\tan^{-1}(-1)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\tan ^{-1}(-1)=\theta$ $\Rightarrow $ $\tan \theta = - 1$
हमें ज्ञात है कि $\tan ^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है।
$\therefore $ $\tan \theta$ = -1 $-\tan \frac{\pi}{4}=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) $ $[\because \tan (-\theta)=-\tan \theta]$
$\Rightarrow$ $ \theta=-\frac{\pi}{4}$, जहाँ $\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ $\left[\because \tan ^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\right]$
अतः $\tan^{-1}(-1)$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है।
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$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\theta \Rightarrow \cos \theta=-\frac{1}{2}$
हमें ज्ञात है कि $\cos ^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर $[0, \pi]$ है।
$\therefore \cos \theta=-\frac{1}{2}=-\cos \frac{\pi}{3}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)[\because \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta] $
$ =\cos \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta=\frac{2 \pi}{3} ; $ जहाँ $ \theta \in[0, \pi] \Rightarrow \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$
अतः $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।
नोट $\cos ^{-1}(-\theta) \neq-\cos ^{-1} \theta$
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$\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$ = $\theta $ $\Rightarrow $ $\tan \theta=-\sqrt{3}$
हमें ज्ञात है कि $\tan ^{-1} \theta $ की मुख्य मान का परिसर $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $है।
$\therefore $ $ \tan \theta=-\sqrt{3}$ = $-\tan \frac{\pi}{3}$ = $\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right) $ $[\because \tan (-\theta)=-\tan \theta]$
$\Rightarrow$ $ \theta=-\frac{\pi}{3}$, जहाँ $\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ $\Rightarrow $ $ \tan ^{-1}(-\sqrt{3}$ = $-\frac{\pi}{3}$
अतः $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{3}$ है।
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$cosec^{-1}\ (2)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\operatorname{cosec}^{-1} 2=\theta \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=2$
हमें ज्ञात है कि $\operatorname{cosec}^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\}$ है।
$\operatorname{cosec} \theta=2=\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6}$
$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}$, जहाँ $\theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\} $
$\Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1}(2)=\frac{\pi}{6}$
अतः $\operatorname{cosec}^{-1}(2)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।
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$\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
हमें ज्ञात है कि $\cos^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर $[0, \pi]$ है।
$\therefore \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} =\cos \frac{\pi}{6} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6},$ जहाँ $\theta \in[0, \pi] \Rightarrow \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\pi}{6}$
अतः $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।
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$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ + $2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerहम दिए गए समीकरण के अलग-अलग पदों के मान ज्ञात कर इसे सरल कर सकते हैं। मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ = x $\Rightarrow$ cos x = $\frac{1}{2}$ = cos $ \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow$ $x=\frac{\pi}{3}$ $ \in[0, \pi] $ (मुख्य अंतराल)
पुनः, माना $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ = y $\Rightarrow$ sin y = $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6}$$ \Rightarrow$ y = $\frac{\pi}{6}$ $\in$ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$(मुख्य अंतराल)
$\therefore$ $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ + $2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ = x + 2y = $\frac{\pi}{3}$ + 2 $\times \frac{\pi}{6}$ = $ \frac{2 \pi}{3} $
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$\tan ^{-1}(1)$$+\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ $+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\tan^{-1}(1) = x$
$\Rightarrow \tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$
जहाँ, $x$ का मुख्य मान $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। $\therefore \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$
मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)= y \Rightarrow \cos y = -\frac{1}{2} = -\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$
$= \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)[\because \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta]$
$\Rightarrow y = \frac{2 \pi}{3},$ जहाँ y का मुख्य मान $y \in [0, \pi]$ है।
$\therefore \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$
मान लीजिए $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = z \Rightarrow \sin z -\frac{1}{2}= -\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)= \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \text {, }$
$\Rightarrow z = -\frac{\pi}{6},$ जहाँ $z$ का मुख्य मान $Z \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
$\therefore \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$
$\therefore \tan ^{-1}(1) + \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = x + y + z = \frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6} $
$= \frac{3 \pi+8 \pi-2 \pi}{12} = \frac{9 \pi}{12} = \frac{3 \pi}{4}$
View full question & answer→Question 181 Mark
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2})$ = $\theta$
हमें ज्ञात है कि $\operatorname{cosec}^{-1} \theta$ की मुख्य मान का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\}$ है।
$\therefore$ $ \operatorname{cosec} \theta$ = $-\sqrt{2}=-\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4}$ = $\operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{4}\right) $ $[\because \operatorname{cosec}(-\theta)=-\operatorname{cosec} \theta]$
$\Rightarrow$ $\theta$ = $-\frac{\pi}{4}$, जहाँ $ \theta \in$ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\} $ $\Rightarrow$ $\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2})$ = $-\frac{\pi}{4}$
अतः $\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2})$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है।
View full question & answer→Question 191 Mark
$\sin^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $ \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ = $\theta\Rightarrow \sin \theta$ = $-\frac{1}{2}$
$\therefore$ $\sin \theta$ = $-\frac{1}{2}$ = $-\sin \frac{\pi}{6}$ = $ \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ [$\because \sin (-\theta ) = -\sin \theta$]
$\Rightarrow$ $ \theta=-\frac{\pi}{6},$ जहाँ $ \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ $\Rightarrow$ $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ = $ -\frac{\pi}{6}$
अतः $ \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) $ का मुख्य मान $ -\frac{\pi}{6}$ है।
नोट व्युत्क्रम फलन का मुख्य मान अद्वितीय होता है।
View full question & answer→Question 201 Mark
$sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{5}\right) $ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerहमें ज्ञात है कि $ \sin ^{-1}(\sin x)=x $ होता है। इसलिए $ \sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{5}\right)=\frac{3 \pi}{5}$
किंतु $\frac{3 \pi}{5} \notin\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, जो $\sin ^{-1} x $ की मुख्य शाखा है।
तथापि $\sin \left(\frac{3 \pi}{5}\right)$ = $ \sin \left(\pi-\frac{3 \pi}{5}\right)$ = $\sin \frac{2 \pi}{5}$ तथा $\frac{2 \pi}{5} $$\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
अतः $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{5}\right)$ = $ \sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{5}\right)$ = $\frac{2 \pi}{5}$
View full question & answer→Question 211 Mark
cos $\left(\sec ^{-1} x +\operatorname{cosec}^{-1} x\right)$, $|x| \geq 1 $ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ पर $\cos \left(\sec ^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} x\right)$ = $ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$= 0
View full question & answer→Question 221 Mark
सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} x$ + $\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}$ = $\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)$, $|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}$
Answerमान लीजिए कि $x = \tan \theta.$ तो $\theta = \tan^{-1} x$ है। अब
दायाँ पक्ष $= \tan^{-1} \frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}} = \tan ^{-1} \frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}$
$= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta = 3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$= \tan^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}} =$ बायाँ पक्ष
View full question & answer→Question 231 Mark
$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\right), x>1 $ को सरलतम रूप में लिखिए।
Answerमान लीजिए कि $x = \sec \theta , then \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1} = \tan \theta$
इसलिए $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} = \cot^{-1} (\cot \theta) = \theta = sec^{-1} $ जो अभीष्ट सरलतम रूप है।
View full question & answer→Question 241 Mark
$5 \tan^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x}$, $-\frac{-3 \pi}{2}<$ x $<\frac{\pi}{2} $ को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।
Answerलिख सकते हैं कि
$\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1-\sin x}\right) = \tan^{-1} \left[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right]$
= $\tan ^{-1}\left[\frac{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^{2}}\right]$
$= \tan^{-1} \left[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}\right]= \tan^{-1} \left[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right]$
$= \tan^{-1} \left[\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right]$= $\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$
View full question & answer→Question 251 Mark
सिद्ध कीजिए कि $ \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{2}{11} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
Answer$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}, xy < 1$ द्वारा
बायाँ पक्ष $= \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{2}{11} = \tan^{-1}\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{11}}{1-\frac{1}{2} \times \frac{2}{11}} = \tan ^{-1} \frac{15}{20}=\tan ^{-1} \frac{3}{4} = $ दायाँ पक्ष
View full question & answer→Question 261 Mark
दर्शाइए कि $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right) = 2 \cos^{-1} x, \frac{1}{\sqrt{2}} \leqx \leq 1$
Answerमान लीजिए कि $x = \cos \theta$ तो उपर्युक्त विधि के प्रयोग द्वारा हमें $\sin^{-1} \left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right) = 2 \cos^{-1} x$ प्राप्त होता है।
View full question & answer→Question 271 Mark
दर्शाइए कि $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right) = 2 \sin ^{-1} x, -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Answerमान लीजिए कि $x = \sin \theta$ तो $\sin^{-1} x = \theta$ इस प्रकार
$\sin^{-1} \left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)= \sin^{-1} \left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\right)$
$= \sin^{-1} (2 \sin \theta \cos \theta)^= \sin^{-1} (\sin 2 \theta) = 2\theta $
$= 2 \sin^{-1} x$
View full question & answer→Question 281 Mark
$\cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) $ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = y $. अतएव
$\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)= \cot \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) = \cot \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ है।
हमें ज्ञात है कि $\cot ^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर $(0, \pi)$ होता है और $\cot \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ है। अतः $\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$ का मुख्य मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।
View full question & answer→Question 291 Mark
$\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4} $ को सरल कीजिए।
Answerयहाँ दिया गया है कि $\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
या $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-2 x \times 3 x}\right) = \frac{\pi}{4}$
या $\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$
या $\frac{5 x}{1-6 x^{2}} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
या $6x^2+ 5x - 1 = 0$ अर्थात् $(6x - 1) (x + 1) = 0$
जिससे प्राप्त होता है कि, $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$
क्योंकि $x = -1,$ प्रदत्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि $x = -1$ से समीकरण का बायाँ पक्ष ऋण हो जाता है। अतः प्रदत्त समीकरण का हल केवल $x = \frac{1}{6}$ है।
View full question & answer→Question 301 Mark
$ \tan ^{-1}\left[\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right] $ को सरल कीजिए, यदि $\frac{a}{b} \tan x>-1$
Answerयहाँ $\tan ^{-1}\left[\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right]$ = $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x}}{\frac{b \cos x+a \sin x}{b \cos x}}\right]$ = $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{a}{b}-\tan x}{1+\frac{a}{b} \tan x}\right]$
= $\tan ^{-1} \frac{a}{b}-\tan ^{-1}(\tan x)$ = $ \tan ^{-1} \frac{a}{b}-x$
View full question & answer→Question 311 Mark
दर्शाइए कि $\sin ^{-1} \frac{12}{13} + \cos^{-1} \frac{4}{5} + \tan^{-1} \frac{63}{16} = \pi$
Answerमान लीजिए कि $\sin ^{-1} \frac{12}{13} = x, \cos ^{-1} \frac{4}{5} = y, \tan^{-1} \frac{63}{16} = z$
इस प्रकार $\sin x=\frac{12}{13}, \cos y=\frac{4}{5} \tan z = \frac{63}{16}$
इसलिए $\cos x=\frac{5}{13}, \sin y = \frac{3}{5}, \tan x = \frac{12}{5}$ और $\tan y$
अब $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} = \frac{\frac{12}{5}+\frac{3}{4}}{1-\frac{12}{5} \times \frac{3}{4}} = -\frac{63}{16}$
अतः $\tan (x + y) = -\tan z$
अर्थात् $\tan (x + y) = \tan (-z)$ या $\tan (x + y) = \tan (\pi - z)$
इसलिए $x + y = - z or x + y = \pi - z$
$x, y$ तथा $z$ धनात्मक हैं, इसलिए $x + y \neq - z$
अतः $x + y + z = \pi$ या $\sin^{-1} \frac{12}{13} + \cos^{-1} \frac{4}{5} + \tan^{-1} \frac{63}{16} = \pi$
View full question & answer→Question 321 Mark
दर्शाइए कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5}-\sin ^{-1} \frac{8}{17}$ = $\cos ^{-1} \frac{84}{85}$
Answerमान लीजिए कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5}=x$ और $\sin ^{-1} \frac{8}{17}=y$
इसलिए $\sin x=\frac{3}{5}$ तथा $\sin y=\frac{8}{17}$
अब $\cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$
और $\cos y=\sqrt{1-\sin ^{2} y} = \sqrt{1-\frac{64}{289}} = \frac{15}{17}$
इस प्रकार $\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$= \frac{4}{5} \times \frac{15}{17}+\frac{3}{5} \times \frac{8}{17} = \frac{84}{85}$
इसलिए $x - y = \cos^{-1} \left(\frac{84}{85}\right)$
अतः $\sin^{-1} \frac{3}{5}-\sin ^{-1} \frac{8}{17} = \cos^{-1}\frac{84}{85}$
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$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=y $ . अतः $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}} .$
हमें ज्ञात है कि $\sin^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर$\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ होता है और $\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{4}$ है।
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