Question 11 Mark
आव्यूह A = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ के लिए सत्यापित कीजिए कि (A + A$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
Answerयहाँ, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 7\end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc}2 & 11 \\ 11 & 14\end{array}\right]$
A + A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}2 & 11 \\ 11 & 14\end{array}\right]$ तथा (A + A$^{\prime}$)$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc}2 & 11 \\ 11 & 14\end{array}\right]$ ($\because$ $ A^{\prime}$ = A, तब A एक सममित आव्यूह है।)
अतः (A + A$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
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सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = $\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]$ एक विषम सममित आव्यूह है।
Answerयहाँ, A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]^{\prime}$= $\left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]$ = - $\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$ = - A
$\therefore$ A$^{\prime}$ = - A अर्थात् A एक विषम सममित आव्यूह है।
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सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] $ एक सममित आव्यूह है।
Answerयहाँ, A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right]$ = A $\therefore $ A$^{\prime}$ = A
अर्थात् A एक समामित आव्यूह हैं।
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यदि $\mathrm{A}^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$ तथा B = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right] $ हैं तो सत्यापित कीजिए कि (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$
Answer$\because$ A = $\left(A^{\prime}\right)^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$
यहाँ, दायाँ पक्ष = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ =$ \left[\begin{array}{rr}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr}3+1 & 4-1 \\ -1-2 & 2-2 \\ 0-1 & 1-3\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr}4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right]$
तथा (A - B)$^{\prime}$ = $\left(\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]\right)^{\prime}$[$\because $ A =$ \left(A^{\prime}\right)^{\prime}$]
= $ \left[\begin{array}{ccc}3+1 & -1-2 & 0-1 \\ 4-1 & 2-2 & 1-3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2\end{array}\right]^{\prime}$= $\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right]$
अतः (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ सत्यापित हुआ।
View full question & answer→Question 51 Mark
यदि $\mathrm{A}^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$ तथा B = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right] $ हैं तो सत्यापित कीजिए कि (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$
Answer$\because$ A = $\left(A^{\prime}\right)^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$
यहाँ, A + B = $ \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4\end{array}\right]$
$ \therefore$ बायाँ पक्ष = (A + B)$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4\end{array}\right]$
A$^{\prime}$ $\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ तथा B$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]^{\prime}$= $ \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]$,
यहाँ, दायाँ पक्ष = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ +$ \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4\end{array}\right]$
अतः (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$ सत्यापित हुआ।
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यदि A = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]$ तथा B = $ \left[\begin{array}{ccr} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$
Answerयहाँ, A - B = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rrr} -1+4 & 2-1 & 3+5 \\ 5-1 & 7-2 & 9-0 \\ -2-1 & 1-3 & 1-1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0 \end{array}\right]$
$\Rightarrow $ (A - B)$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{array}\right] $ ...(i)
तथा A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} -1+4 & 5-1 & -2-1 \\ 2-1 & 7-2 & 1-3 \\ 3-(-5) & 9-0 & 1-1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rrr} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{array}\right] $ ...(ii)
अतः समी (i) तथा (ii) से यह सत्यापित होता है कि(A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$
View full question & answer→Question 71 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]$ तथा B = $ \left[\begin{array}{ccr} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$
Answerयहाँ, A + B = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]$+ $ \left[\begin{array}{rrr} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{array}\right] \\ $
$\Rightarrow$ (A + B)$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{array}\right] $ ...(i)
तथा
$A^{\prime}$ + $B^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]^{\prime}$ + $ \left[\begin{array}{rrr} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]^{\prime} $
= $\left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rrr} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{array}\right] $ ...(i)
अतः समी (i) तथा (ii) से यह सत्यापित होता है कि (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$
View full question & answer→Question 81 Mark
आव्यूह का परिवर्त ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right] $, तब $ A^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} -1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 91 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] $, तथा A + A$^{\prime}$ = I, तब $\alpha $ का मान है
Answerयहाँ, A = $ \left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] $ तथा A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$
दिया है, A + A$^{\prime}$ = 1
$\therefore$ $ \left[\begin{array}{ll}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ $\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{cc}2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
दिए गए आव्यूह के संगत अवयवों की तुलना करने पर हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।
2 cos $\alpha$ = 1 $\Rightarrow$ cos $\alpha$ = $ \frac{1}{2}$ = cos $\frac{\pi}{3} $ $\Rightarrow$ $\alpha$ = $\frac{\pi}{3}$
View full question & answer→Question 101 Mark
आव्यूहों का परिवर्त ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]$, तब $ A^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 111 Mark
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB - BA एक
Answerदिया है, A तथा B सममित आव्यूह हैं।
$ \Rightarrow$ A$^{\prime}$ = A तथा B$^{\prime}$ = B
(AB - BA$^{\prime}$) = (AB)$^{\prime}$ - (BA)$^{\prime}$ [$\because$ (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$]
= B$^{\prime}$A$^{\prime}$ - A$^{\prime}$B$^{\prime}$ [$\because$ (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime}$]
= BA - A ($\because$ A$^{\prime}$ = A तथा B$^{\prime}$ = B)
= - (AB - BA) $ \Rightarrow$ (AB - BA)$^{\prime}$ = - (AB - BA)
अतः (AB - BA) एक विषम सममित आव्यूह है।
View full question & answer→Question 121 Mark
आव्यूह का परिवर्त ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{c} 5 \\ 1 / 2 \\ -1 \end{array}\right]_{3 \times 1}$ , तब $ A^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{lll} 5 & 1 / 2 & -1 \end{array}\right]_{1 \times 3}$
View full question & answer→Question 131 Mark
x तथा y ज्ञात कीजिए यदि $2\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & x \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll} y & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{array}\right]$
Answerदिया है, $ 2\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & x \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll} y & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{array}\right]$ $ \Rightarrow$ $\left[\begin{array}{rr} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2 x+2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{array}\right]$
समान आव्यूह की परिभाषा से, हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह समान हैं, तो इनके संगत अवयव भी समान होंगे। अतः संगत अवयवों को समान रखने पर हमें प्राप्त होता है कि,
2 + y = 5 ...(i)
तथा 2x + 2 = 8 ...(ii)
$\Rightarrow $ y = 5 - 2 = 3 तथा 2x = 8 - 2 $ \Rightarrow $ y = 3 तथा x = $\frac{6}{2}=3$
View full question & answer→Question 141 Mark
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि Y = $\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right]$ तथा 2X + Y = $\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right]$
Answerदिया है, 2X + Y = $\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right] $ तथा Y = $ \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ 2X = $\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right]$ - Y = $\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rr} 1-3 & 0-2 \\ -3-1 & 2-4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ X = $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 151 Mark
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि 2X + 3Y = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}\right]$तथा 3X + 2Y =$\left[\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{array}\right]$
Answerदिया है,
2X + 3Y = $ \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right]$ ...(i)
तथा 3X + 2Y = $\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -1 & 5\end{array}\right]$...(ii)
समी (i) को 2 से तथा समी (ii) को 3 से गुणा करके परस्पर घटाने पर,
2(2X + 3Y) - 3(3X + 2Y) = 2$\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}\right]$ - 3$ \left[\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{array}\right]$
$ \Rightarrow $ 4X + 6Y - 9X - 6Y = $\left[\begin{array}{ll} 4 & 6 \\ 8 & 0 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rr} 6 & -6 \\ -3 & 15 \end{array}\right]$
$ \Rightarrow $ - 5X = $\left[\begin{array}{ll} 4-6 & 6+6 \\ 8+3 & 0-15 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rr} -2 & 12 \\ 11 & -15 \end{array}\right] $
$ \Rightarrow $ X = - $ \frac{1}{5}$ $\left[\begin{array}{rr} -2 & 12 \\ 11 & -15 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr} 2 / 5 & -12 / 5 \\ -11 / 5 & 3 \end{array}\right] $
तब समी (i) से, 3Y = $ \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}\right]$ - 2X = $\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}\right]$ - 2 $\left[\begin{array}{rr} 2 / 5 & -12 / 5 \\ -11 / 5 & 3 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rr} 2-\frac{4}{5} & 3+\frac{24}{5} \\ 4+\frac{22}{5} & 0-6 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} 6 / 5 & 39 / 5 \\ 42 / 5 & -6 \end{array}\right]$
$\therefore$ Y = $\frac{1}{3}$$ \left[\begin{array}{rr} 6 / 5 & 39 / 5 \\ 42 / 5 & -6 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} 2 / 5 & 13 / 5 \\ 14 / 5 & -2 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 161 Mark
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि X + Y = $ \left[\begin{array}{ll}7 & 0 \\ 2 & 5\end{array}\right]$ तथा X - Y = $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]$
Answerदिया है,
X + Y = $ \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}\right] $ ...(i)
तथा X - Y = $ \left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right] $ ...(ii)
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
2X = $\left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{array}\right]$ $\Rightarrow$ X = $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{rr} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{array}\right] $
समी (i) में से समी (ii) को घटाने पर,
2Y = $\left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right]$ $\Rightarrow$ Y = $\frac{1}{2}$$ \left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right] $
View full question & answer→Question 171 Mark
सरल कीजिए, $ \cos \theta\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ + $\sin \theta\left[\begin{array}{rr} \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right]$
Answer$\cos \theta\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ + $\sin \theta\left[\begin{array}{rr} \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rr} \cos ^{2} \theta & \sin \theta \cos \theta \\ -\cos \theta \sin \theta & \cos ^{2} \theta \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr} \sin ^{2} \theta & -\sin \theta \cos \theta \\ \cos \theta \sin \theta & \sin ^{2} \theta \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rr} \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta & \cos \theta \sin \theta-\sin \theta \cos \theta \\ -\cos \theta \sin \theta+\sin \theta \cos \theta & \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$ ($\because \cos^{2 }\theta + \sin^{2 }\theta = 1)$
View full question & answer→Question 181 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3} \end{array}\right]$ तथा B = $ \left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5} \end{array}\right] $, तो 3A - 5B परिकलित कीजिए।
Answer3A - 5B = 3$\left[\begin{array}{rrr} 2 / 3 & 1 & 5 / 3 \\ 1 / 3 & 2 / 3 & 4 / 3 \\ 7 / 3 & 2 & 2 / 3 \end{array}\right]$ - 5 $\left[\begin{array}{rrr} 2 / 5 & 3 / 5 & 1 \\ 1 / 5 & 2 / 5 & 4 / 5 \\ 7 / 5 & 6 / 5 & 2 / 5 \end{array}\right] $
= $\left[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{array}\right]$ - $ \left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $
View full question & answer→Question 191 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$, B = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]$ तथा C = $\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$, तो (A + B) तथा (B - C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B - C) = (A + B) - C.
AnswerA + B = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right]$
तथा B - C = $ \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right]$
$\therefore$ (A + B) - C =$ \left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]$
तथा A + (B - C) = $ \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]$
अतः (A + B) - C = A + (B - C) सत्य है।
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} 6-1+9 & -9+0+3 \\ -2+0+6 & 3+0+2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 14 & -6 \\ 4 & 5 \end{array}\right]$
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:$\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 2-1 & 0+2 & 2+1 \\ 3-2 & 0+4 & 3+2 \\ -1-1 & 0+2 & -1+1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 0 \end{array}\right]$
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:$\left[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2+0+12 & -6+6+0 & 10+12+20 \\ 3+0+15 & -9+8+0 & 15+16+25 \\ 4+0+18 & -12+10+0 & 20+20+30 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 14 & 0 & 42 \\ 18 & -1 & 56 \\ 22 & -2 & 70 \end{array}\right]$
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:$\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 1 \times 1+(-2) \times 2 & 1 \times 2+(-2) \times 3 & 1 \times 3+(-2) \times 1 \\ 2 \times 1+3 \times 2 & 2 \times 2+3 \times 3 & 2 \times 3+3 \times 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} -3 & -4 & 1 \\ 8 & 13 & 9 \end{array}\right]$
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए$: \left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]_{3 \times 1}$$\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \end{array}\right]_{1 \times 3}$
$=\left[\begin{array}{ccc} 1 \times 2 & 1 \times 3 & 1 \times 4 \\ 2 \times 2 & 2 \times 3 & 2 \times 4 \\ 3 \times 2 & 3 \times 3 & 3 \times 4 \end{array}\right]_{3 \times 3}$
$=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}\right]$
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निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:$\left[\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} a \times a+b \times b & a \times(-b)+b \times a \\ (-b) \times a+a \times b & (-b) \times(-b)+a \times a \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} a^{2}+b^{2} & -a b+a b \\ -a b+a b & b^{2}+a^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} a^{2}+b^{2} & 0 \\ 0 & b^{2}+a^{2} \end{array}\right]$
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परिकलित कीजिए: $\left[\begin{array}{cc} \cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} \sin ^{2} x & \cos ^{2} x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{cc} \cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} \sin ^{2} x & \cos ^{2} x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ll} \cos ^{2} x+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x+\cos ^{2} x \\ \sin ^{2} x+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x+\sin ^{2} x \end{array}\right]$ ($\because \sin^2x + \cos^2 x = 1)$
= $\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$
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परिकलित कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{ccc} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{array}\right]$+ $\left[\begin{array}{ccc} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -1+12 & 4+7 & -6+6 \\ 8+8 & 5+0 & 16+5 \\ 2+3 & 8+2 & 5+4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 11 & 11 & 0 \\ 16 & 5 & 21 \\ 5 & 10 & 9 \end{array}\right]$
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मान लीजिए कि X, Y, Z, W तथा P क्रमश: 2 $\times$ n, 3 $\times$ k, 2 $\times$ p, n $\times$ 3 तथा p $\times$ k, कोटियों के आव्यूह हैं। यदि n = p, तो आव्यूह 7X - 5Z की कोटि है।
Answerआव्यूह X 2 $\times$ n कोटि का है। इसलिए 7 $\times$ गुणन से प्राप्त आव्यूह भी समान कोटि का होगा। Z आव्यूह की कोटि 2 $\times$ p है। चूँकि n = p अतः आव्यूह Z की कोटि 2 $\times$ n होगी।
इस प्रकार, आव्यूह Z में 5 के गुणन से प्राप्त आव्यूह भी समान कोटि का होगा।
अतः दोनों आव्यूह 7X तथा 5Z, 2 $\times$ n कोटि के होंगे।
इस प्रकार, आव्यूह 7X - 5Z परिभाषित है और इसकी कोटि 2 $\times$ n है।
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परिकलित कीजिए: $\left[\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2} & b^{2}+c^{2} \\ a^{2}+c^{2} & a^{2}+b^{2} \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} 2 a b & 2 b c \\ -2 a c & -2 a b \end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2} & b^{2}+c^{2} \\ a^{2}+c^{2} & a^{2}+b^{2} \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} 2 a b & 2 b c \\ -2 a c & -2 a b \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2}+2 a b & b^{2}+c^{2}+2 b c \\ a^{2}+c^{2}-2 a c & a^{2}+b^{2}-2 a b \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ll} (a+b)^{2} & (b+c)^{2} \\ (a-c)^{2} & (a-b)^{2} \end{array}\right]$ [$\because(a + b)^2= a^2+ 2ab + b^2 $ and $(a − b)^2= a^2− 2ab + b^2]$
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मान लीजिए कि X, Y, Z, W तथा P क्रमशः 2 $\times$ n, 3 $\times$ k, 2 $\times$ p, n $\times$ 3 तथा p $\times$ k, कोटियों के आव्यूह हैं। PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबंध होगा?
Answerआव्यूह P तथा Y की कोटि क्रमशः p $ \times$ k तथा 3 $ \times$ k हैं।
इस प्रकार यदि k = 3, तो आव्यूह परिभाषित होगा, तद्नुसार P Y, p $ \times$ k कोटि का तथा आव्यूह तथा Y क्रमशः n $ \times$ 3 तथा 3 $ \times$ k कोटि के होंगे।
चूँकि आव्यूह W में स्तम्भों की संख्या Y में पंक्तियों की संख्या के बराबर हैं इसलिए WY परिभाषित है और इसकी कोटि n $ \times$ k है। आव्यूह PY तथा WY को केवल तभी जोड़े जा सकते हैं जब उनकी कोटियाँ समान हों।
फिर भी आव्यूह PY, p $ \times$ k कोटि का तथा WY, n $ \times$ k कोटि का है अर्थात् p = n होगा। अतः PY, WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा P पर k = 3 तथा P = n प्रतिबंध है।
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परिकलित कीजिए: $ \left[\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array}\right] $
Answer$\left[\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} a+a & b+b \\ -b+b & a+a \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 2 a & 2 b \\ 0 & 2 a \end{array}\right]$
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किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में $10$ दर्जन रसायन विज्ञान, $8$ दर्जन भौतिक विज्ञान तथा $10$ दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः $₹. 80, ₹. 60$ तथा $₹. 40$ प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
Answerमान लीजिए
$A = [10 \times 12 8 \times 12 10 \times 12]$
तथा $B = [80 60 40] = \left[\begin{array}{l} 80 \\ 60 \\ 40 \end{array}\right]$
तीनों प्रकार की किताबों को बेचने से विक्रेता को प्राप्त धनराशि की गणना अव्यूह $A$ तथा $B$ के आव्यूह गुणन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
अब, $AB = [120 96 120] \left[\begin{array}{l} 80 \\ 60 \\ 40 \end{array}\right] $
$= [120 \times 80 + 96 \times 60 + 120 \times 40]1 \times 1$
$= [9600 + 5760 + 4800]1 \times 1 $
$= [20160]1 \times 1$
इस प्रकार, किताब विक्रेता को प्राप्त धनराशि $= ₹. 20160$
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किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज
- ₹1800 हो।
- ₹2000 हो।
Answerमान लीजिए प्रथम ब्रांड पर ₹x तथा द्वितीय ब्रांड पर ₹(30000 - x) निवेशित करता है।
- प्रश्नानुसार, [x 30000 -x] $\left[\begin{array}{c}\frac{5}{100} \\ \frac{7}{100}\end{array}\right]$= [1800]
$\Rightarrow$ $\left[\frac{5 x}{100}+\frac{(30000-x) 7}{100}\right]$= [1800]
$\Rightarrow$ $\frac{5 x+210000-7 x}{100}$ = 1800
$\Rightarrow$ 210000 - 2x = 180000 $\Rightarrow$ 30000 = 2x $\Rightarrow$ x = 15000
अतः दोनों ब्राडों पर निवेशित मान क्रमश: ₹15000 तथा ₹(30000 - 15000) = ₹15000 हैं। - प्रश्नानुसार, [x 30000 -x]$ \left[\begin{array}{c} \frac{5}{100} \\ \frac{7}{100} \end{array}\right]$ = [2000]
$\Rightarrow$ $ \left[\frac{5 x}{100}+\frac{(30000-x) 7}{100}\right]$= [2000]
अतः दोनों प्रकार के ब्राडों पर निवेशित मात्रा क्रमशः ₹5000 तथा ₹(30000 - 5000) = ₹25000 हैं।
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यदि A = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{array}\right]$ तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है। तो सिद्ध कीजिए कि I + A = (I - A)$\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$
Answerयहाँ, A = $ \left[\begin{array}{rr} 0 & -t \\ t & 0 \end{array}\right]$, जहाँ t = tan $\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
अब, cos $ \alpha$ = $\frac{1-\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ तथा sin $ \alpha$ = $\frac{2 \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$ = $\frac{2 t}{1+t^{2}}$
दायाँ पक्ष = (I - A) $\left[\begin{array}{rr} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$=$ \left[\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr} 0 & -t \\ +t & 0 \end{array}\right)\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ \frac{2 t}{1+t^{2}} & \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$
= $ \left[\begin{array}{rr} 1 & t \\ -t & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t}{1+t^{2}} \\ 2 t & 1-t^{2} \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{cc} \frac{1-t^{2}+2 t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ -t\left(1-t^{2}\right)+2 t & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1-t} \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-2 t+t-t^{3}}{1+t^{2}} \\ \frac{-t+t^{3}+2 t}{1+t^{2}} & \frac{2 t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} & \frac{-t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} \\ \frac{t\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} & \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1 & -t \\ t & 1 \end{array}\right]$
तथा बायाँ पक्ष = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr}0 & -t \\ t & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr}0+1 & -t+0 \\ t+0 & 0+1\end{array}\right]$ =$ \left[\begin{array}{rr}1 & -t \\ t & 1\end{array}\right]$ = दायाँ पक्ष
t का मान दोनों पक्षों में रखने पर,
$ \left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) & 1 \end{array}\right] $
$\therefore $ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
View full question & answer→Question 351 Mark
यदि $A = $$ \left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{array}\right] $ तथा I = $\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $ एवं $A^2 = kA - 2I$ हो तो k ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $A^2= kA - 2I \Rightarrow A A = kA - 2I$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{array}\right]$$ \left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{array}\right]$ = $k \left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{array}\right]$ - $2\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{rr} 9-8 & -6+4 \\ 12-8 & -8+4 \end{array}\right]$ =$ \left[\begin{array}{ll} 3 k & -2 k \\ 4 k & -2 k \end{array}\right]$ -$ \left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr} 3 k-2 & -2 k \\ 4 k & -2 k-2 \end{array}\right]$
समान आव्यूह के गुणधर्म द्वारा समान आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
$3k - 2 = 1 \Rightarrow k = 1$
$-2k = -2 \Rightarrow k = 1$
$4k = 4 \Rightarrow k = 1$
$-4 = -2k - 2\Rightarrow k = 1$
अतः $k = 1$
View full question & answer→Question 361 Mark
यदि $A = \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right] $है तो सिद्ध कीजिए कि $A^3- 6A^2+ 7A + 2I = 0$
Answerयहाँ, $A^2 = A \times$ A = $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{lll} 1+0+4 & 0+0+0 & 2+0+6 \\ 0+0+2 & 0+4+0 & 0+2+3 \\ 2+0+6 & 0+0+0 & 4+0+9 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{array}\right] $
$A^3 = A^2 \times$ A = $\left[\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{array}\right] $$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rrr} 5+0+16 & 0+0+0 & 10+0+24 \\ 2+0+10 & 0+8+0 & 4+4+15 \\ 8+0+26 & 0+0+0 & 16+0+39 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{array}\right]$
$\therefore A^3- 6A^2+ 7A + 2I = \left[\begin{array}{ccc} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{array}\right]$ - $6\left[\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{array}\right]$ + $7\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right]$+ $2 \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
=$\left[\begin{array}{lll} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ccc} 30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccr} 7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21 \end{array}\right]$+ $\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] $
= $\left[\begin{array}{ccc} 21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+0 & 0-0+0+0 & 55-78+21+2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] = 0$
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यदि A = $ \left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]$है तो $A^2- 5A + 6I$, का मान ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ, $A^2= A \times$ A = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 4+0+1 & 0+0-1 & 2+0+0 \\ 4+2+3 & 0+1-3 & 2+3+0 \\ 2-2+0 & 0-1+0 & 1-3+0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$
$ \therefore A^2- 5A + 6I = \left[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$ - $5\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]$ + $6\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
= $\left[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ccc} 10 & 0 & 5 \\ 10 & 5 & 15 \\ 5 & -5 & 0 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{lll} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 5-10+6 & -1+0+0 & 2-5+0 \\ 9-10+0 & -2-5+6 & 5-15+0 \\ 0-5+0 & -1+5+0 & -2+0+6 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 381 Mark
मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right], $ $B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right], $ $C=\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $, तो BA ज्ञात कीजिए।
AnswerBA = $\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1 \times 2+3 \times 3 & 1 \times 4+3 \times 2 \\ (-2) \times 2+5 \times 3 & (-2) \times 4+5 \times 2 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ll} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 391 Mark
दर्शाइए कि $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right] $ $\neq$ $\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$
Answerयहाँ $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc} -1+0+6 & 1-2+9 & 0+2+12 \\ 0+0+0 & 0+(-1)+0 & 0+1+0 \\ -1+0+0 & 1-1+0 & 0+1+0 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 14 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right] $ तथा $\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] $
= $\left[\begin{array}{ccc} -1+0+0 & -2+1+0 & -3+0+0 \\ 0+0+1 & 0-1+1 & 0+0+0 \\ 2+0+4 & 4+3+4 & 6+0+0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 6 & 11 & 6 \end{array}\right]$
अतः अभीष्ट प्रतिबन्ध सत्यापित हुआ।
View full question & answer→Question 401 Mark
दर्शाइए कि $\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right] $ $\neq$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\ 6 & 7\end{array}\right]$
Answer$\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 10-3 & 5-4 \\ 12+21 & 6+28 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 1 \\ 33 & 34 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 10+6 & -2+7 \\ 15+24 & -3+28 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 16 & 5 \\ 39 & 25 \end{array}\right]$
अतः $\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $$\neq$ $\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 411 Mark
मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right], $ $B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right], $ $C=\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $, तो AB ज्ञात कीजिए।
AnswerAB = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 2 \times 1+4 \times(-2) & 2 \times 3+4 \times 5 \\ 3 \times 1+2 \times(-2) & 3 \times 3+2 \times 5 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 421 Mark
यदि F(x) = $ \left[\begin{array}{ccc} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $ है तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y)
Answerबायाँ पक्ष = F(x) F(y) =$ \left[\begin{array}{ccc} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ \left[\begin{array}{ccc} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos x \cos y-\sin x \sin y & -\sin y \cos x-\sin x \cos y & 0 \\ \sin x \cos y+\cos x \sin y & -\sin x \sin y+\cos x \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ [$ \because $ cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B, sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A]
= $\left[\begin{array}{ccc} \cos (x+y) & -\sin (x+y) & 0 \\ \sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
अब, F(x) में x को (x + y) के द्वारा प्रतिस्थापित करने पर,
$\therefore$ F(x + y) = $\left[\begin{array}{ccc}\sin (x+y) & \cos (x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
F(x) F(y) = F(x + y) = दायाँ पक्ष
View full question & answer→Question 431 Mark
मान लीजिए A = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]$, C = $\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $ तो 3A + C ज्ञात कीजिए।
Answer3A - C = 3 $\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cc} 6-(-2) & 12-5 \\ 9-3 & 6-4 \end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ll} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 441 Mark
यदि $3\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}x & 6 \\ -1 & 2 w\end{array}\right]$+ $ \left[\begin{array}{cc}4 & x+y \\ z+w & 3\end{array}\right]$ है तो x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $3\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr}x & 6 \\ -1 & 2 w\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr}4 & x+y \\ z+w & 3\end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ll} 3 x & 3 y \\ 3 z & 3 w \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+w & 2 w+3 \end{array}\right] $
समान आव्यूह की परिभाषा से, हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह समान हैं, तो इसके संगत अवयव समान होंगे। अतः संगत अवयवों की तुलना करने पर,
3x = x + 4 $\Rightarrow$ 2x = 4 $\Rightarrow$ x = 2
3y = 6 + x + y $\Rightarrow$ 2y = 6 + x $\Rightarrow$ y = $ \frac{6+x}{2}$
तथा उपरोक्त में x का मान रखने पर,
y = $ \frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4
3z = - 1 + z + w, 2z = - 1 + w
z = $ \frac{-1+w}{2}$ ...(i)
3w = 2w + 3 $\Rightarrow$ w = 3
अब, समी (i) में w का मान रखने पर,
z = $ \frac{-1+3}{2}$ = $ \frac{2}{2} $ = 1
अतः x, y, z तथा w के मान क्रमश: 2, 4, 1 तथा 3 हैं।
View full question & answer→Question 451 Mark
मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right], $$B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right], $$C=\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $, तो A - B ज्ञात कीजिए।
AnswerA - B = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 2-1 & 4-3 \\ 3-(-2) & 2-5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 461 Mark
यदि $x \left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right] + Y \left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 10 \\ 5 \end{array}\right]$ है तो $x$ तथा $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
Answerयदि $x \left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{c} 2 x+y(-1) \\ 3 x+y \end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right] $
समान आव्यूह की परिभाषा से, हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह समान हैं, तो इनके संगत अवयव भी समान होंगे।
अतः संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$2x - y = 10 ...(i)$
तथा $3x + y = 5 ...(ii)$
समी $(i)$ तथा $(ii)$ को जाड़ने पर,
$5x = 15\Rightarrow x = 3$
समी $(i)$ में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,
$2 \times 3 - y = 10 $
$\Rightarrow y = 6 - 10 $
$= - 4$
View full question & answer→Question 471 Mark
मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right], $ $B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right], $ $C=\left[\begin{array}{cc} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] $, तो A + B ज्ञात कीजिए।
AnswerA + B = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$+ $\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 2+1 & 4+3 \\ 3+(-2) & 2+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 1 & 7 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 481 Mark
प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि
2$\left[\begin{array}{ll} x & z \\ y & t \end{array}\right]$+ 3$\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]$ = 3$\left[\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{array}\right] $
Answerदिया है,
2$\left[\begin{array}{ll} x & z \\ y & t \end{array}\right]$ + 3$\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]$ = 3$\left[\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ll}2 x & 2 z \\ 2 y & 2 t\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{rr}3 & -3 \\ 0 & 6\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rr}9 & 15 \\ 12 & 18\end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ll}2 x+3 & 2 z-3 \\ 2 y+0 & 2 t+6\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rr}9 & 15 \\ 12 & 18\end{array}\right]$
समान आव्यूह की परिभाषा से, हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह समान हैं, तो उसके संगत अवयव भी समान होंगे। इस प्रकार संगत अवयवों की तुलना करने पर,
2x + 3 = 9, 2y + 0 = 12, 2z - 3 = 15 तथा 2t + 6 = 18
$\Rightarrow$ x = $\frac{9-3}{2}$, y = $\frac{12}{2}$, z = $\frac{15+3}{2}$ तथा t = $\frac{18-6}{2}$
$\Rightarrow$ x = 3, y = 6, z = 9 तथा t = 6
View full question & answer→Question 491 Mark
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?
$ \left[\begin{array}{cc} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x \end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{cc} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{array}\right] $
Answerप्रश्नानुसार, $ \left[\begin{array}{cc} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{array}\right]$
समान आव्यूह की परिभाषा से,
3x + 7 = 0 ...(i)
5 = y - 2 ...(ii)
y + 1 = 8 ...(iii)
2 - 3x = 4 ...(iv)
समी (ii) से, y = 7
समी (i) से 3x + 7 = 0 $\Rightarrow$ x = $\frac{-7}{3}$
समी (iv) से 2 - 3x = 4 $\Rightarrow$ x = $ \frac{-2}{3}$
चूँकि एक समय में x का केवल एक मान हो सकता है, अतः यहाँ x तथा y का वह मान प्राप्त करना संभव नहीं हैं जिसके लिए प्रदत्त आव्यूह बराबर है।
View full question & answer→Question 501 Mark
A = $[a_{ij}]_{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह है यदि
Answerचूँकि यह एक वर्ग आव्यूह है और इसमें पंक्तियो तथा स्तम्भों की संख्या बराबर होती हैं।
अतः m = n
$\therefore$ A = $[a_{ij}]_{m \times n}$
View full question & answer→Question 511 Mark
$\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ x & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} y & z \\ 1 & 5 \end{array}\right]$ से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ x & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} y & z \\ 1 & 5 \end{array}\right]$
हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह बराबर हैं, तो उनके संगत अवयव बराबर होते हैं।
अतः संगत अवयवों की तुलना करने पर,
4 = y, 3 = z तथा x = 1 $\Rightarrow$ x = 1, y = 4 तथा z = 3
View full question & answer→Question 521 Mark
एक $ 2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{(i+2 j)^{2}}{2}$ प्रकार से प्रदत्त हैं।
Answerयहाँ,$A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]_{2 \times 2}$ , जहाँ $ a_{i j}=\frac{(i+2 j)^{2}}{2}$
$\therefore $ $a_{11}=\frac{(1+2)^{2}}{2}=\frac{9}{2}$, $ a_{12}=\frac{(1+4)^{2}}{2}$ = $\frac{25}{2}$,
$a_{21}=\frac{(2+2)^{2}}{2}=8$ तथा $a_{22}=\frac{(2+4)^{2}}{2}=18$
अतः अभीष्ट आव्यूह $ A=\left[\begin{array}{cc} \frac9 2 & \frac {25} 2 \\ 8 & 8 \end{array}\right]_{2 \times 2}$ है।
View full question & answer→Question 531 Mark
एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{i}{j}$ प्रकार से प्रदत्त हैं।
Answerयहाँ, $A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]_{2 \times 2}$, जहाँ $ a_{i j}=\frac{i}{j}$
$\therefore$ $ a_{11}=\frac{1}{1}=1, a_{12}=\frac{1}{2}$, $a_{21}=\frac{2}{1}=2$ तथा $a_{22}=\frac{2}{2}=1$
अतः अभीष्ट आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cc} 1 & \frac1 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right]_{2 \times 2} $है।
View full question & answer→Question 541 Mark
एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}] $ की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}$ प्रकार से प्रदत्त हैं।
Answerज्ञात आव्यूह की कोटि 2 $ \times$ 2 है, अतः $A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]_{2 \times 2}$, जहाँ $a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}a_{11}$ को ज्ञात करने के लिए $i = 1$ तथा $j = 1$ रखने पर,
$\therefore$ $ a_{11}=\frac{(1+1)^{2}}{2}=2$ इसी प्रकार, $ a_{12}=\frac{(1+2)^{2}}{2}=\frac{9}{2} $,
$a_{21}=\frac{(2+1)^{2}}{2}=\frac{9}{2}$ तथा $a_{22}=\frac{(2+2)^{2}}{2}=8$
अतः अभीष्ट आव्यूह $ A = \left[\begin{array}{cc} 2 & 9 / 2 \\ 9 / 2 & 8 \end{array}\right]_{2 \times 2} $है।
View full question & answer→Question 551 Mark
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
Answerचूँकि आव्यूह में 18 अवयव हैं अतः इसकी निम्नलिखित कोटियाँ हो सकती हैं
1 $\times $ 18, 18 $\times $ 1, 2 $\times $ 9, 9 $\times $ 2, 3 $\times $ 6, 6 $\times $ 3
और इसी प्रकार, आव्यूह में यदि 5 अवयव हों, तो इसकी कोटि क्रमशः 1$\times $ 5 अथवा 5 $\times $ 1 होगी।
View full question & answer→Question 561 Mark
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
Answerहम जानते हैं कि यदि m $\times$ n कोटि का कोई आव्यूह हो, तो इसमें आव्यवों की संख्या mn होती है। अतः 24 अवयवों के आव्यूह निम्नलिखित कोटियों के हो सकते हैं।
1 $\times$ 24, 2 $\times$ 12, 3 $\times$ 8, 4$\times$ 6, 6 $\times$ 4, 8 $\times$ 3, 12 $\times$ 2 तथा 24$\times$ 1
इसी प्रकार, एक आव्यूह जिसमें कुल 13 अवयव हों, की कोटि 1 $\times$ 13 अथवा 13 $\times$ 1 हो सकती है।
View full question & answer→Question 571 Mark
$3 \times 3 $ कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि $0$ या $1$ है?
Answerचूँकि $ 3 \times 3$ कोटि के आव्यूह में $9$ अवयव होते हैं और प्रत्येक अवयव को दो तरीकों से चयनित किया जा सकता है $($या तो $0$ है या फिर $1$ है$)$
इस प्रकार, सभी स्थान के अवयवों की स्थिति $2^9= 512$ तरीकों से चयनित की जा सकती हैं।
अतः अभीष्ट आव्यूहों की संख्या $512$ है।
View full question & answer→Question 581 Mark
आव्यूह $ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{array}\right] $, के लिए ज्ञात कीजिए:
- आव्यूह की कोटि
- अवयवों की संख्या
- अवयव $a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}$
Answer
- दिए गए आव्यूह में पंक्तियों की संख्या 3 तथा स्तंभ $4$ है। इसलिए आव्यूह की कोटि $3 \times 4 $ होगी।
- चूँकि आव्यूह की कोटि $3 \times 4$ है। इसलिए यहाँ 3 $\times 4 = 12$ अवयव होंगे।
- माना $\left[\begin{array}{cccc} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right]$
समान आव्यूह के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$a_{13} = 19; a_{21} = 35; a_{33} = - 5; a_{24}= 12; a_{23} = \frac{5}{2}$
View full question & answer→Question 591 Mark
X तथा Y, ज्ञात कीजिए, यदि X + Y = $ \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{array}\right] $ तथा X - Y =$ \left[\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{array}\right] $ है।
Answerयहाँ पर (X + Y) + (X - Y) = $ \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{array}\right]$
या (X + X) + (Y - Y) =$ \left[\begin{array}{ll} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{array}\right] $ $\Rightarrow$ 2X = $ \left[\begin{array}{ll} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{array}\right]$
या X = $ \frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{ll} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{array}\right] $
साथ ही (X + Y) - (X - Y) = $\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{array}\right]$ - $ \left[\begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{array}\right] $
या (X - X) + (Y + Y) = $\left[\begin{array}{cc} 5-3 & 2-6 \\ 0 & 9+1 \end{array}\right] $$ \Rightarrow$ 2Y = $\left[\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{array}\right] $
या Y = $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{rr} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 601 Mark
यदि A =$\left[\begin{array}{cc}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{array}\right]$, B = $ \left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ तथा 2A + 3X = 5B दिया हो तो आव्यूह X ज्ञात कीजिए।
Answerदिया A + 3X = 5 B
या 2A + 3X - 2A = 5B - 2A
या 2A - 2A + 3X = 5B - 2A (आव्यूह योग क्रम-विनिमेय है)
या O + 3X = 5B - 2A (-2A, आव्यूह 2A का योग प्रतिलोम है)
या 3X = 5B - 2A O, योग का तत्समक है)
या X = $\frac{1}{3}$(5B - 2A)
या X = $ \frac13$$\left(5\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{array}\right]-2\left[\begin{array}{cc} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{array}\right]\right)$ = $\frac 13$$\left(\left[\begin{array}{cc} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{array}\right]\right)$
= $ \frac13$ $\left[\begin{array}{cc} 10-16 & -10+0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{array}\right]$ = $ \frac13$ $\left[\begin{array}{cc} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} -2 & \frac{-10}{3} \\ 4 & \frac{14}{3} \\ \frac{-31}{3} & \frac{-7}{3} \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 611 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right] $ हैं तो 2A - B ज्ञात कीजिए।
Answerहम पाते हैं 2A - B = 2 $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{lrl} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right] $
= $\left[\begin{array}{lll} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{lll} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 621 Mark
A = $\left[\begin{array}{crr} \sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{array}\right] $ तथा B = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2} \end{array}\right] $है तो A + B ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि A तथा B समान कोटि 2 $\times$ 3 वाले आव्यूह हैं, इसलिए A तथा B का योग परिभाषित है, और
A + B = $\left[\begin{array}{ccc} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\frac{1}{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{array}\right]$द्वारा प्राप्त होता है।
View full question & answer→Question 631 Mark
यदि $ \left[\begin{array}{cc} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{array}\right]$ हो तो a, b, c, तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदो आव्यूहों की समानता की परिभाषा द्वारा, संगत अवयवों को समान रखने पर हमें प्राप्त होत है कि
2a + b = 4, 5c - d = 11, a - 2b = - 3, 4c + 3d = 24
इन समीकरणों को सरल करन पर a = 1, b = 2, c = 3 तथा d = 4 प्राप्त होता है।
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यदि $\left[\begin{array}{ccc} x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0 \end{array}\right]$ हो तो a, b, c, x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए।
Answerचूँकि प्रदत्त आव्यूह समान हैं, इसलिए इनके संगत अवयव भी समान होंगे। संगत अवयवों की तुलना करने पर हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:
x + 3 = 0, z + 4 = 6, 2y - 7 = 3y - 2, a - 1 = - 3, 0 = 2c + 2, b - 3 = 2b + 4
इन्हें सरल करने पर हमें प्राप्त होता है कि
a = -2, b = -7, c = -1, x = -3, y = -5, z = 2
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एक ऐसे $3 \times 2$ आव्यूह की रचना कीजिए, जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ द्वारा प्रदत्त हैं।
Answerएक 3 $\times$ 2 आव्यूह, सामान्यतः इस प्रकार होता है: $ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right]$
अब, $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i = 1, 2, 3 $ तथा $j = 1, 2$
इसलिए
$a_{11}= \frac{1}{2}|1-3.1| = 1, a_{12} = \frac{1}{2}|1-3.2| = \frac{5}{2}$
$a_{21}=\frac{1}{2}|2-3.1|$ = $\frac 1 2$, $a_{22}=\frac{1}{2}|2-3.2|=2$
$a_{31}=\frac{1}{2}|3-3.1|=0$, $a_{32}=\frac{1}{2}|3-3.2|=\frac{3}{2}$
अतः अभीष्ट आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{array}\right]$ है।
View full question & answer→Question 661 Mark
मान लीजिए कि A = $ \left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$, B = $ \left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{array}\right]$, C = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right] $ है। एक ऐसा आव्यूह D ज्ञात कीजिए कि CD - AB = O हो।
Answerक्योंकि A, B, C सभी कोटि 2, के वर्ग आव्यूह हैं और CD - AB भली-भाँति परिभाषित है, इसलिए D कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
मान लीजिए कि D = $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ है। तब CD - AB = O से प्राप्त होता है कि
$\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{array}\right]$ = O
या $\left[\begin{array}{ll} 2 a+5 c & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c & 3 b+8 d \end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 43 & 22 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] $
या $\left[\begin{array}{lc} 2 a+5 c-3 & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c-43 & 3 b+8 d-22 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
आव्यूहों की समानता से हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
2a + 5c - 3 = 0 ...(1)
3a+ 8c - 43 = 0 ...(2)
2b + 5d = 0 ...(3)
तथा 3b + 8d - 22 = 0 ...(4)
(1) तथा (2), को सरल करने पर a = - 191, c = 77 प्राप्त होता है।
(3) तथा (4), को सरल करने पर b = - 110, d = 44 प्राप्त होता है।
अतः D = $\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{array}\right] $
View full question & answer→Question 671 Mark
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो दर्शाइए कि AB सममित है, यदि और केवल यदि A तथा B क्रमविनिमेय है, अर्थात् AB = BA है।
Answerदिया है कि A तथा B दोनों सममित आव्यूह हैं, इसलिए A$^{\prime}$ = A तथा B$^{\prime}$ = B है। मान लीजिए कि AB सममित है तो (AB)$^{\prime}$ = AB
किंतु (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime}$= BA
अतः BA = AB
विलोमतः, यदि AB = BA है तो हम सिद्ध करेंगे कि AB सममित है।
अब (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime}$
= BA (क्योंकि A तथा B सममित है)
= AB
अतः AB सममित है।
View full question & answer→Question 681 Mark
यदि $ A= \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ है तो सिद्ध कीजिए कि $A^n=$ $\left[\begin{array}{cc} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{array}\right]$, $n \in N$
Answerहम इसको गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध करेंगे।
यहाँ पर $P(n):$ यदि $A = \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right],$ तो $A^n= \left[\begin{array}{cc}\cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{array}\right], n \in N$
$P(1): A = \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right],$ इसलिए$ A^1= \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$
अतः, परिणाम $n = 1$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है।
इसलिए
$P(k): A = \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right],$ तो $A^K= \left[\begin{array}{cc}\cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta\end{array}\right]$
अब हम सिद्ध करेंगे कि परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है।
अब $A^{K + 1}= A \cdot A^K= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta \cos k \theta-\sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta+\sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta+\cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta+\cos \theta \cos k \theta \end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{cc} \cos (\theta+k \theta) & \sin (\theta+k \theta) \\ -\sin (\theta+k \theta) & \cos (\theta+k \theta) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \cos (k+1) \theta & \sin (k+1) \theta \\ -\sin (k+1) \theta & \cos (k+1) \theta \end{array}\right]$
इसलिए परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है। अतः गणितीय आगमन का सिद्धांत से प्रमाणित होता है कि $A^n= \left[\begin{array}{rr}\cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{array}\right],$ समस्त प्राकृत संख्याओं n के लिए सत्य है।
View full question & answer→Question 691 Mark
यदि P = $\left[\begin{array}{rr} 10 & -2 \\ -5 & 1 \end{array}\right]$ है तो $P^{-1}$ ज्ञात कीजिए, यदि इसका अस्तित्व है।
Answer$P = I\ P$ लिखिए अर्थात्, $\left[\begin{array}{rr} 10 & -2 \\ -5 & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] P$
या $ \left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{-1}{5} \\ -5 & 1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] P (R_{1 }\rightarrow \frac{1}{10} R_1$ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{-1}{5} \\ 0 & 0 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{10} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{array}\right] P (R_{2 } \rightarrow R_2+ 5R_1$ द्वारा)
यहाँ बाएँ पक्ष के आव्यूह की द्वितीय पंक्ति के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं, अतः $P^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।
View full question & answer→Question 701 Mark
प्रारंभिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त कीजिए:
$A = \left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]$
Answerहम जानते हैं कि $A = I A$, अर्थात् $\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]A$
या $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A (R_1 \leftrightarrow R_2$ _द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]A (R_3 \rightarrow R_3- 3R_1 $ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]A (R_1 \rightarrow R_1- 2R_2$_ द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right]A (R_3 \rightarrow R_3+ 5R_2 $ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_3 \rightarrow \frac{1}{2} R_3 $ द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_1 \rightarrow R_1+ R_3$ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]A (R_2 \rightarrow R_2- 2R_3$ _द्वारा$)$
अतः $A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$
View full question & answer→Question 711 Mark
प्रारंभिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा आव्यूह $A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right] $ का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
Answerप्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग करने के लिए हम $A = IA$ लिखते हैं, अर्थात्
$\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]A,$ तो $\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right]A (R_2 \rightarrow R_2- 2 R_1 $के प्रयोग द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5} \end{array}\right]A (R_2\rightarrow - \frac{1}{5} R_2$ _के प्रयोग द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right]A (R_1 \rightarrow R_1-_2R_2 $ के प्रयोग द्वारा$)$
अतः$ A^{-1}= \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5} \end{array}\right]$ है।
View full question & answer→Question 721 Mark
आव्यूह B = $\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$ को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answerयहाँ $B^{\prime}$ =$\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3 \end{array}\right]$
मान लीजिए कि
P = $ \frac{1}{2}$(B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc}2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ है।
अब P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$= P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
साथ ही मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right] $ है।
तब Q$ ^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{-1}{2} & 0 & -3 \\ \frac{-5}{2} & 3 & 0 \end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अब P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]$= B
अतः आव्यूह B एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया।
View full question & answer→Question 731 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -6 \end{array}\right] $ है तो सत्यापित कीजिए (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime} $ है।
Answerयहाँ A = $ \left[\begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -6 \end{array}\right] $
इसलिए AB = $ \left[\begin{array}{r}-2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & -6\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30\end{array}\right]$
अतः (AB)$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{array}\right] $
अब A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{lll} -2 & 4 & 5 \end{array}\right]$, B$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -6 \end{array}\right] $
इसलिए B$^{\prime} $A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{r}1 \\ 3 \\ -6\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lll}-2 & 4 & 5\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ccc}-2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30\end{array}\right]$ = (AB)$^{\prime}$
स्पष्टतया (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime}$
View full question & answer→Question 741 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{lll}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]$ तो (kB)$^{\prime}$ = kB$^{\prime}$, जहाँ k कोई अचर है को सत्यापित कीजिए।
Answerयहाँ
KB = k$\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{lll} 2 k & -k & 2 k \\ k & 2 k & 4 k \end{array}\right] $
तब (k B)$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 2 k & k \\ -k & 2 k \\ 2 k & 4 k \end{array}\right]$ = k$ \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right]$ = kB$^{\prime}$
अतः (kB)$^{\prime}$ = kB$^{\prime} $
View full question & answer→Question 751 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{lll}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]$ तो (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$ को सत्यापित कीजिए।
Answerयहाँ
A = $ \left[\begin{array}{lll} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{array}\right]$, B = $ \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}\right] $ $\Rightarrow$ A + B = $\left[\begin{array}{ccc} 5 & \sqrt{3}-1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{array}\right]$
अतएव (A + B)$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4 \end{array}\right] $
अब A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$, B$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right] $
अतएव A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$
अतः (A + B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ + B$^{\prime}$
View full question & answer→Question 761 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{lll}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]$ तो $\left(\mathrm{A}^{\prime}\right)^{\prime}$ = A को सत्यापित कीजिए।
Answerयहाँ
A = $\left[\begin{array}{lll} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{array}\right]$ $\Rightarrow $ A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$ $\Rightarrow $ $\left(A^{\prime}\right)^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{lll} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{array}\right]$= A
अतः $\left(\mathrm{A}^{\prime}\right)^{\prime}$ = A
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यदि किसी आव्यूह में 8 अवयव हैं, तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हो सकती हैं?
Answerहमें ज्ञात है कि, यदि किसी आव्यूह की कोटि m $\times $n है तो इसमें m n अवयव होते हैं। अतएव 8 अवयवों वाले किसी आव्यूह के सभी संभव कोटियाँ ज्ञात करने के लिए हम प्राकृत संख्याओं के उन सभी क्रमित युग्मों को ज्ञात करेंगे जिनका गुणनफल 8 है।
अतः सभी संभव क्रमित युग्म (1, 8), (8, 1), (4, 2), (2, 4) हैं।
अतएव संभव कोटियाँ 1 $\times $ 8, 8 $\times $ 1, 4 $\times $ 2, 2 $\times $ 4 हैं।
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किसी विधान सभा चुनाव के दौरान एक राजनैतिक दल ने अपने उम्मीदवार के प्रचार हेतु एक जन संपर्क फर्म को ठेके पर अनुबंद्धित किया। प्रचार हेतु तीन विधियों द्वारा संपर्क स्थापित करना निश्चित हुआ। ये हैं: टेलीफोन द्वारा, घर-घर जाकर तथा पर्चा वितरण द्वारा। प्रत्येक संपर्क का शुल्क (पैसों में) नीचे आव्यूह A में व्यक्त है,
प्रति संपर्क मूल्य
X तथा Y दो शहरों में, प्रत्येक प्रकार के सम्पर्कों की संख्या आव्यूह
टेलीफोन घर जाकर पर्चा द्वारा
में व्यक्त है। X तथा Y शहरों में राजनैतिक दल द्वारा व्यय की गई कुल धनराशि ज्ञात कीजिए।
AnswerBA = $ \left[\begin{array}{r} 40,000+50,000+250,000 \\ 120,000+100,000+500,000 \end{array}\right]$ $\rightarrow$ X $\rightarrow$ Y
= $\left[\begin{array}{r} 340,000 \\ 720,000 \end{array}\right]$ $\rightarrow$ X $\rightarrow$ Y
अतः दल द्वारा दोनों शहरों में व्यय की गई कुल धनराशि क्रमश: 3,40,000 पैसे व 7,20,000 पैसे अर्थात् ₹3400 तथा ₹7200 हैं।
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यदि A = $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] $है तो दर्शाइए कि $A^3- 23A - 40I = O$
Answerहम जानते हैं कि $A^2 = A \cdot$ A = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{llr} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{array}\right]$
इसलिए $A^3 = A A^2 = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lcr}19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63\end{array}\right]$
अब $A^3 - 23 A - 40 I = $$\left[\begin{array}{rrr} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right]$- 23 $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right]$ - 40 $ \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{ccc} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] = O$
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यदि $A = \left[\begin{array}{rrr}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{array}\right], B = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right], C = \left[\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right]$ तो $AC, BC$ तथा $(A + B) C$ का परिकलन कीजिए। यह भी सत्यापित कीजिए कि $(A + B) C = AC + BC$
Answer$A + B = \left[\begin{array}{rrr} 0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0 \end{array}\right]$
अतएव, $(A + B) C =\left[\begin{array}{rrr}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{r}0-14+24 \\ -10+0+30 \\ 16+12+0\end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{r}10 \\ 20 \\ 28\end{array}\right]$
इसके अतिरिक्त
$AC = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 0-12+21 \\ -12+0+24 \\ 14+16+0 \end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{c} 9 \\ 12 \\ 30 \end{array}\right] $
और $BC =\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 0-2+3 \\ 2+0+6 \\ 2-4+0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ -2 \end{array}\right]$
इसलिए $AC + BC =\left[\begin{array}{c} 9 \\ 12 \\ 30 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{r} 1 \\ 8 \\ -2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} 10 \\ 20 \\ 28 \end{array}\right]$
स्पष्टतया $(A + B) C = AC + BC$
View full question & answer→Question 811 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{array}\right]$ तथा C = $\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right]$ तो A(BC) तथा (AB)C ज्ञात कीजिए और दिखलाइए कि (AB)C = A(BC) है।
Answerयहाँ AB = $\left[\begin{array}{ccr} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right]$$ \left[\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc} 1+0+1 & 3+2-4 \\ 2+0-3 & 6+0+12 \\ 3+0-2 & 9-2+8 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15 \end{array}\right]$
(AB) (C) = $\left[\begin{array}{rc} 2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{crcc} 2+2 & 4+0 & 6-2 & -8+1 \\ -1+36 & -2+0 & -3-36 & 4+18 \\ 1+30 & 2+0 & 3-30 & -4+15 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{lrcc} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{array}\right]$
अब BC = $\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrrr} 1+6 & 2+0 & 3-6 & -4+3 \\ 0+4 & 0+0 & 0-4 & 0+2 \\ -1+8 & -2+0 & -3-8 & 4+4 \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{cccc} 7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8 \end{array}\right]$
अतएव A (BC) = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cccc} 7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8 \end{array}\right]$= ${\left[\begin{array}{cccc} 7+4-7 & 2+0+2 & -3-4+11 & -1+2-8 \\ 14+0+21 & 4+0-6 & -6+0-33 & -2+0+24 \\ 21-4+14 & 6+0-4 & -9+4-22 & -3-2+16 \end{array}\right]}$= ${\left[\begin{array}{llll} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{array}\right]}$
स्पष्टतया, (AB) C = A (BC)
View full question & answer→Question 821 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{array}\right] $ है तो AB का मान ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ पर AB = $\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
अतः यदि दो आव्यूहों का गुणनफल एक शून्य आव्यूह है तो आवश्यक नहीं है कि उनमें से एक आव्यूह अनिवार्यतः शून्य आव्यूह हो।
View full question & answer→Question 831 Mark
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो:
Answerमान लीजिए A एक समामेत तथा विषम समिजत आव्यूह है।
$\Rightarrow$ A$^{\prime}$ = A ($\because$ A सममित आव्यूह है)
तथा A$^{\prime}$ = - A ($\because$ A विषम सममित आव्यूह है)
$\therefore $ A = - A $\Rightarrow$ A + A = 0 $\Rightarrow$ 2A = 0 $\Rightarrow$ A = 0
View full question & answer→Question 841 Mark
यदि A = $ \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right] $ और B = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right] $, तो AB तथा BA ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि AB $\neq $ BA
Answerक्योंकि कि A एक 2$ \times$3 आव्यूह है और B एक 3 $ \times$ 2 आव्यूह है, इसलिए AB तथा BA दोनों ही परिभाषित हैं तथा क्रमशः 2 $ \times$ 2 तथा 3 $ \times$ 3, कोटियों के आव्यूह हैं। नोट कीजिए कि
AB = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{array}\right]$
और BA = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{array}\right]$
स्पष्टतया AB $ \neq$ BA.
View full question & answer→Question 851 Mark
यदि A = $\left[\begin{array}{ll} 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}\right]$ तथा B = $\left[\begin{array}{lll} 2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8 \end{array}\right] $ है तो AB ज्ञात कीजिए।
Answerआव्यूह A में 2 स्तंभ हैं जो आव्यूह B की पंक्तियों के समान हैं। अतएव AB परिभाषित है। अब
AB = $\left[\begin{array}{lll} 6(2)+9(7) & 6(6)+9(9) & 6(0)+9(8) \\ 2(2)+3(7) & 2(6)+3(9) & 2(0)+3(8) \end{array}\right]$
= $\left[\begin{array}{rrr} 12+63 & 36+81 & 0+72 \\ 4+21 & 12+27 & 0+24 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 861 Mark
दो किसान रामकिशन और गुरचरन सिंह केवल तीन प्रकार के चावल जैसे बासमती, परमल तथा नउरा की खेती करते हैं। दोनों किसानों द्वारा, सितंबर तथा अक्तूबर माह में, इस प्रकार के चावल की बिक्री (रुपयों में) को, निम्नलिखित A तथा B आव्यूहों में व्यक्त किया गया है:
सितंबर माह की बिक्री (₹ में)
अक्तूबर माह की बिक्री (₹ में)
- प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर तथा अक्तूबर की सम्मिलित बिक्री ज्ञात कीजिए।
- सितंबर की अपेक्षा अक्तूबर में हुई बिक्री में कमी ज्ञात कीजिए।
- यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर 2% लाभ मिलता है, तो अक्तूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर प्रत्येक किसान को मिलने वाला लाभ ज्ञात कीजिए।
Answer - प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर तथा अक्तूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री नीचे दी गई है:
- सितंबर की अपेक्षा अक्तूबर में हुई बिक्री में कमी नीचे दी गई है,
- B का 2% = $\frac{2}{100}$$ \times$ B = 0.02 $ \times$ B
= 
= 
अतः अक्तूबर माह में, रामकिशन, प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर क्रमशः ₹100, ₹ 200 तथा ₹120 लाभ प्राप्त करता है और गुरचरन सिंह, प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर क्रमश: ₹400, ₹200 तथा ₹200 लाभ अर्जित करता है।
View full question & answer→Question 871 Mark
निम्नलिखित समीकरण से x तथा y के मानों को ज्ञात कीजिए:
2 $\left[\begin{array}{cc} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{array}\right] $
Answerदिया है, 2$\left[\begin{array}{cc} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{array}\right] $$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{cc} 2 x & 10 \\ 14 & 2 y-6 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{array}\right]$
या $\left[\begin{array}{cc} 2 x+3 & 10-4 \\ 14+1 & 2 y-6+2 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{array}\right]$ $ \Rightarrow$ $\left[\begin{array}{cc} 2 x+3 & 6 \\ 15 & 2 y-4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{array}\right]$
या 2x + 3 = 7 तथा 2y - 4 = 14
या 2x = 7 - 3 तथा 2y = 18
या x = $ \frac{4}{2}$ तथा y = $\frac{18}{2} $
अर्थात् x = 2 तथा y = 9
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तीन फैक्ट्रियों I, II तथा III में पुरुष तथा महिला कर्मियों से संबंधित निम्नलिखित सूचना पर विचार कीजिए: | | पुरुष कर्मी | महिला कर्मी |
| I | 30 | 25 |
| II | 25 | 31 |
| III | 27 | 2 |
उपर्युक्त सूचना को एक 3 $ \times$ 2 आव्यूह में निरूपित कीजिए। तीसरी पक्ति और दूसरे स्तंभ वाली प्रविष्टि क्या प्रकट करती है?
Answerप्रदत्त सूचना को 3 $\times$ 2 आव्यूह के रूप में निम्नलिखित प्रकार से निरूपित किया जा सकता है:
$A=\left[\begin{array}{ll} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{array}\right]$
तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि फैक्ट्री-III कारखाने में महिला कार्यकर्ताओं की संख्या प्रकट करती हैं।
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