Question 12 Marks
$x, y,$ तथा $z$ के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह$ A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right]$ समीकरण $A^{\prime}A = I$ को संतुष्ट करता है।
Answerदिया है,$ A^{\prime}A = 1$
$\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]^{\prime}$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$ = I $\Rightarrow$$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc} 0+x^{2}+x^{2} & 0+x y-x y & 0-x z+x z \\ 0+y x-y x & 4 y^{2}+y^{2}+y^{2} & 2 y z-y z-y z \\ 0-z x+z x & 2 y z-y z-y z & z^{2}+z^{2}+z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $ \left[\begin{array}{ccc} 2 x^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 6 y^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 z^{2} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$2 x^2= 1, 6y^2= 1, 3z^2= 1$
$ \Rightarrow x^2= \frac{1}{2}, y^2= \frac{1}{6}, z^2= \frac{1}{3}$
$\Rightarrow x = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm$
$ \frac{1}{\sqrt{3}}$
View full question & answer→Question 22 Marks
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B$^{\prime}$AB सममित अथवा विषम सममित है यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
Answerमान लीजिए A एक सममित आव्यूह है, तब A$^{\prime}$ = A
अब, $\left(B^{\prime} A B\right)^{\prime}$ = $ \left\{B^{\prime}(A B)\right\}^{\prime}$=$ (A B)^{\prime}$$\left(B^{\prime}\right)^{\prime} $[$\because$(AB$^{\prime}$ = B$^{\prime}$A$^{\prime}$]
= B$^{\prime}$ A$^{\prime}$(B) [$\because$(B$^{\prime}$)$^{\prime}$= B]
= B$^{\prime}$(A$^{\prime}$ B) = B$^{\prime}$(A B) ($\because$A$^{\prime}$= A)
$\therefore$$ \left(B^{\prime} A B\right)^{\prime}$= B$^{\prime}$A B
चूँकि B$^{\prime}$ AB को एक सममित आव्यूह प्रदर्शित करता है।
पुनः मान लीजिए कि A एक विषम सममित आव्यूह है। तब, A$^{\prime}$= - A
अब, $\left(B^{\prime} A B\right)^{\prime}$= $ \left[B^{\prime}(A B)\right]^{\prime}$= (A B)$^{\prime}$$\left(B^{\prime}\right)^{\prime}$ [$\therefore$(AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$ तथा (A$^{\prime}$)$^{\prime}$= A]
=$ \left(B^{\prime} A^{\prime}\right)$ B = B$^{\prime}$(- A)B = - B$^{\prime}$AB ($\because$ A$^{\prime}$= - A)
$\therefore$$\left(B^{\prime} A B\right)^{\prime}$= - B$^{\prime}$ AB जो यह निरूपित करता है कि B$^{\prime}$ AB एक विषम सममित आव्यूह है।
View full question & answer→Question 32 Marks
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।
Answerचूँकि यहाँ A तथा B सममित आव्यूह हैं, तो A$^{\prime}$ = A तथा B' = B$^{\prime}$
अब, (AB - BA)$^{\prime}$ = (AB)$^{\prime}$ - (BA)$^{\prime}$ [$\because$ (A - B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ - B$^{\prime}$ तथा (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$]
= B$^{\prime}$A$^{\prime}$ - A$^{\prime}$ B$^{\prime}$ = BA - AB ($\because$ B$^{\prime}$ = B तथा A$^{\prime}$ = A)
= - (AB - BA)
$\therefore$ (AB - BA)$^{\prime}$ = - (AB - BA)
अतः (AB - BA) एक विषम सममित आव्यूह है।
View full question & answer→Question 42 Marks
यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = BA$ है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $AB^{n }= B^n A$ होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त $n \in N$ के लिए $(AB)^{n }= A^n B^{n }$ होगा।
Answerदिया है, $A^{2 }= 1$
$\therefore AA = I \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc} \alpha^{2}+\beta \gamma & \alpha \beta-\alpha \beta \\ \alpha \gamma-\gamma \alpha & \gamma \beta+\alpha^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
समान आव्यूह के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$\alpha^{2} + \beta \gamma = 1$
$\Rightarrow \alpha^{2} + \beta\gamma - 1 = 0$
$\Rightarrow 1 - \alpha^{2} - \beta \gamma = 0$
View full question & answer→Question 52 Marks
यदि $A = \left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]$ इस प्रकार है कि $A^2 = I,$ तो
Answer
- दिया है,
$AB = BA^{. }...(i)$
हम सिद्ध करना चाहते हैं, $AB^{n }= B^n A ...(ii)$
$n = 1$ के लिए समी $(ii)$ स्पष्टतया सत्य है।
मान लीजिए समी $(ii)$ धनात्मक पूर्णांक $n = m$ के लिए सत्य है।
अर्थात् $AB^{m }= B^{m }A ...(iii)$
तब, $n = m + 1$ के लिए, $AB^{m + 1 }= AB^m B =(AB^m) B ($आव्यूह गुणनफल के साहचर्य नियम से$)$
$= (B^m A)B [$समी $(iii)$ के प्रयोग से$]$
$= B^m(AB) = B^m(BA) [$समी $(i)$ के प्रयोग से$]$
$= (B^mBA) = B^{m +1 }A$
अतः $n \in N,$ के सभी मान के लिए यह सत्य है। $($गणितीय आगमन के सिद्धांत से$)$
- यहाँ, दिया है, $AB = BA ...(i)$
हमें सिद्ध करना है, $(AB)^{n }= A^n B^{n }...(ii)$
$n = 1$ के लिए समी $(ii)$ स्पष्टतया सत्य है। $[ \because$ समी $(i)$ से$]$
मान लीजिए समी $(ii)$ धनात्मक पूर्णांक $n = m$ के लिए सत्य है।
अर्थात् $(AB)^{m }= A^m B^m$
तथा $n = m + 1$ के लिए, $(AB)^{m + 1 }= (AB)^{m }(AB) = A^m B^m(A B) [$समी $(iii)$ के प्रयोग से$]$
$= A^m(B^m A) B = A^{m }(AB^m) B (\because AB^n =B^nA, n \in N$ के लिए, जब $AB = BA)$
$= (A^m A) (B^m B) = A^{m + 1} B^{m + 1}$
अतः गणितीय आगमन के सिद्धंत से, $n \in N$ के सभी मानों के लिए यह सत्य है।
View full question & answer→Question 62 Marks
यदि A = $ \left[\begin{array}{rrr} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]$ तो $ \frac{1}{2}$(A + A$^{\prime}$) तथा $ \frac{1}{2}$(A - A$^{\prime}$) ज्ञात कीजिए।
Answerअब, $ \frac{1}{2}$ (A + A$^{\prime}$)
= $\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]^{\prime}\right)$= $\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array}\right]\right)$
= $\frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$
तथा $\frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]^{\prime}\right)$
= $\frac{1}{2}$$ \left(\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{rrr} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array}\right]\right)$ = $ \frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 a & 2 b \\ -2 a & 0 & 2 c \\ -2 b & -2 c & 0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right] $
View full question & answer→Question 72 Marks
$A$ तथा $B$ आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि $(AB)^{\prime} = B^{\prime}\ A^{\prime}, $ जहाँ $ A = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], B = \left[\begin{array}{lll} -1 & 5& 7 \end{array}\right]$
Answerयहाँ $, (A B)^{\prime} = \left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14\end{array}\right]' = \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14\end{array}\right]...(i)$
तथा $B^{\prime} A^{\prime} = \left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right]^{\prime} \left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]' = \left[\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 7\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14\end{array}\right] ...(ii)$
समी $(i)$ तथा $(ii)$ से यह सत्यापित होता है कि $(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}$.
View full question & answer→Question 82 Marks
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$, जहाँ A = $\left[\begin{array}{r} 1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{lll} -1 & 2 & 1 \end{array}\right]$
Answerयहाँ,
AB = $\left[\begin{array}{r}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right]$
(AB)$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{array}\right]$ ...(i)
तथा B$^{\prime}$ A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right]^{\prime}$ $\left[\begin{array}{c}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$$ \left[\begin{array}{lll}1 & -4 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3\end{array}\right]$ ...(ii)
समी (i) तथा (ii) से, (AB)$^{\prime}$ = B$^{\prime}$ A$^{\prime}$
View full question & answer→Question 92 Marks
यदि $ \mathrm{A}^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right] $ तथा B = $ \left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right] $ हैं तो (A + 2B)$^{\prime}$ ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rr} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ A = $ \left(A^{\prime}\right)^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rr}-2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right]$[$\because$ $(A^{\prime})^{\prime}$ = A]
तथा 2B = $2\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right]$
$\therefore$ A + 2B = $ \left[\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} -4 & 1 \\ 5 & 6 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ (A + 2B)$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rr} -4 & 1 \\ 5 & 6 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rr} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{array}\right] $
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आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rr} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A =$ \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ तब A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$
अब, A + A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$(A + A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ (A + A$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q.
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ = A
View full question & answer→Question 112 Marks
आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rrr} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$, तब A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$
P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $ \left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$= $ \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $\frac{1}{2}$$ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc}0 & -5 / 2 & -3 / 2 \\ 5 / 2 & 0 & -3 \\ 3 / 2 & 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$ = A
View full question & answer→Question 122 Marks
आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right] $, तब A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = A
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$= P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q =$ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = A
View full question & answer→Question 132 Marks
आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rr} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$
Answerमान लीजिए A = $\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, तब A = P + Q
जहाँ, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ तथा Q = $ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$
अब, P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
$\therefore$ P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]^{\prime}$= $\left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right]$ = P ($\therefore$ P$^{\prime}$ = P, अतः P एक सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, Q = $ \frac{1}{2}$$\left(A-A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$$ \left(\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]\right)$= $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
$\therefore $ Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$ = - Q ($\because$ Q$^{\prime}$ = - Q, अतः Q एक विषम सममित आव्यूह है।)
इस प्रकार, Q =$ \frac{1}{2}$ $\left(A-A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ = A
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समीकरण $\left[\begin{array}{cc} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{array}\right] $ से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\left[\begin{array}{cc} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{array}\right] $
समान आव्यूह की परिभाषा से चूँकि प्रदत्त आव्यूह बराबर हैं, तो उनके संगत अवयव भी बराबर होंगे। संगत अवयवों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
a - b = - 1 ...(i)
2a - b = 0 ...(ii)
2a + c = 5 ...(iii)
तथा 3c + d = 13 ...(iv)
समी (ii) में से समी (i) को घटाने पर, a = 1
समी (i) तथा समी (iii) में a = 1 रखने पर, 1 - b = - 1 तथा 2 + c = 5
$\Rightarrow$ b = 2 तथा c = 3
समी (iv) में c = 3 प्रतिस्थापित करने पर, 3 $ \times$3 + d = 13 $ \Rightarrow$ d = 13 - 9 = 4
इस प्रकार, a = 1, b = 2, c = 3 तथा d = 4
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$\left[\begin{array}{c} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 9 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right]$ से $x, y$ तथा $z$ के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है,$\left[\begin{array}{c} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 9 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right]$
हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह बराबर हैं, तो उसके संगत अवयव भी बराबर होंगे।
अतः संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$x + y + z = 9 ...(i)$
$x + z = 5 ...(ii)$
$y + z = 7 ...(iii)$
समी $(i)$ से समी $(ii)$ को घटाने पर हम प्राप्त करते हैं $, y = 4$
समी $(ii)$ से समी $(iii)$ को घटाने पर हम प्राप्त करते है $, x = 2$
समी $(iii) $ में $y = 4$ प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$4 + z = 7$
$\Rightarrow z = 7 - 4 = 3$
अतः $x = 2, y = 4, z = 3$
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$\left[\begin{array}{cc} x+y & 2 \\ 5+z & x y \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array}\right]$ से $x, y$ तथा $z$ के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $ \left[\begin{array}{ll} x+y & 2 \\ 5+z & x y \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array}\right]$,
हम जानते हैं कि ज्ञात आव्यूह समान हैं, तो उसके संगत अवयव भी बराबर होंगे।
अतः संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$x + y = 6 ... (i)$
$5 + z = 5 ...(ii)$
तथा $xy = 8 ...(iii)$
समी $(i)$ से, $z = 0$
समी $(ii)$ से, $y = 6 - x ...(iv)$
$x(6 - x) = 8$
$\Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$
$\Rightarrow (x - 2) (x - 4) = 0$
$\Rightarrow x = 2$ या $x = 4$
जब $x = 2, $ तब समी $(iv)$ से, $y = 6 - 2 = 4$ तथा
जब $x = 4,$ तब समी $(iv)$ से, $y = 6 - 4 = 2$
अतः $x = 2, y = 4$ तथा $z = 0$
अथवा $x = 4, y = 2$ तथा $z = 0$
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एक $3 \times 4$ आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{ij} = 2i - j$ प्रकार से प्राप्त होते हैं।
Answerयहाँ $A = \left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right]_{3 \times 4}$ जहाँ $a_{ij} = 2i - j$
$\therefore a_{11}= 2 - 1 = 1, a_{12} = 2 - 2 = 0$
$a_{13} = 2 - 3 = - 1, a_{14} = 2 - 4 = - 2$
$a_{21} = 4 - 1 = 3, a_{22} = 4 - 2 = 2$
$a_{23} = 4 - 3 = 1, a_{24} = 4 - 4 = 0$
$a_{31} = 6 - 1 = 5, a_{32}= 6 - 2 = 4$
$a_{33} = 6 - 3 = 3$ तथा $a_{34} = 6 - 4 = 2$
अतः अभीष्ट आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right]_{3 \times 4}$ है।
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$3 \times 4$ आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j|$ प्रकार से प्राप्त होते हैं।
Answerचूँकि ज्ञात आव्यूह $3 \times 4$ कोटि का है अतः अभीष्ट आव्यूह
$A = \left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right]_{3 \times 4},$ जहाँ $a_{ij} = \frac{1}{2}|-3 i+j|$
$i$ तथा $j$ के स्थान पर मान रखने पर आव्यूह $A$ के सभी अवयवों को इस प्रकार ज्ञात करते हैं।
$\therefore a_{11} = \frac{1}{2}|-3+1| = 1, a_{12}= \frac{1}{2}|-3+2|= \frac{1}{2}$
$a_{13 }= \frac{1}{2}|-3+3| = 0, a_{14} = \frac{1}{2}|-3+4| = \frac{1}{2}$
$a_{21} = \frac{1}{2}|-6+1| = \frac{5}{2}, a_{22}= \frac{1}{2}|-6+2| = 2$
$a_{23}= \frac{1}{2}|-6+3| = \frac{3}{2}, a_{24}= \frac{1}{2}|-6+4| = 1$
$a_{31}= \frac{1}{2}|-9+1| = 4, a_{32}= \frac{1}{2}|-9+2| = \frac{7}{2}$
$a_{33} = \frac{1}{2}|-9+3| = 3 तथा a_{34} = \frac{1}{2}|-9+4| = \frac{5}{2}$
अतः अभीष्ट आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 5 / 2 & 2 & 3 / 2 & 1 \\ 4 & 7 / 2 & 3 & 5 / 2 \end{array}\right]_{3 \times 4}$ है।
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यदि $A =\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ तथा $2 A+3 x=5 B$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerसमीकरण: $3 x=5 B-2 A$
$5 B$ निकालें: $5 B=5\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5\end{array}\right]$
$2 A$ निकालें: $2 A=2\left[\begin{array}{cc}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}16 & 0 \\ 8 & -4 \\ 6 & 12\end{array}\right]$
$5 B-2 A$ करें: $3 x=\left[\begin{array}{cc}10-16 & -10-0 \\ 20-8 & 10-(-4) \\ -25-6 & 5-12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7\end{array}\right]$
$x$ का मान: $x=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}-6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7\end{array}\right]$
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