Question 13 Marks
रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerदी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(i)$
$\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}) ...(ii)$
हम जानते हैं कि रेखाओं $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ के बीच की निम्नतम दूरी
d = $\frac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \cdot\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|} ...(iii)$
रेखा $\vec{r}={a}_{1}+\lambda {b}_{1}$ तथा $\vec{r}={a}_{2}+\mu {b}_{2}$ की तुलना समी $(i)$ तथा $(ii)$ से करने पर,
${a}_{1}=6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {a}_{2}=-4 \hat{{i}}-\hat{{k}},$
${b}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}, {b}_{2}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (-4 \hat{{i}}-\hat{{k}})-(6 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
$=-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
पुनः, ${b}_{1} \times {b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{array}\right|$
$=\hat{i} (4 + 4) - \hat{j} (-2 - 6) + \hat{k} (- 2 + 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$
$\therefore\left|{b}_{1} \times {b}_{2}\right|$
$=\sqrt{8^{2}+8^{2}+4^{2}}$
$=\sqrt{64+64+16}$
$=\sqrt{144}$
$= 12$
अब, $(b_1 \times b_2) (a_2 - a_1) $
$= (8 \hat{{i}}+8 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}) \cdot(-10 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$
$= - 80 - 16 - 12 $
$= -108$
उपरोक्त मानों को समी $(iii)$ में रखने पर,
$d = \frac{\left|\left({b}_{1} \times {b}_{2}\right) \cdot\left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\right|}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}$
$=\frac{108}{12} $
$= 9$ इकाई
View full question & answer→Question 23 Marks
यदि बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ और $(2, 9, 2)$ हैं तो $AB$ और $CD$ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, बिंदुओं $A, B, C$ तथा $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ तथा $(2, 9, 2)$ है।
$\therefore AB$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (4 - 1), (5 - 2), (7 - 3) = (3, 3, 4)$
$CD$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (2 + 4), (9 - 3), (2 + 6) = (6, 6, 8)$
माना $AB$ तथा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ तथा $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
तब$, \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, $$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
यहाँ, स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः रेखा $AB,$ रेखा $CD$ के समांतर है, अतः रेखा $AB$ तथा रेखा $CD$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
View full question & answer→Question 33 Marks
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक् $-$ अनुपात $a, b, c$ और $b - c, c - a, a - b$ हैं।
Answerदी गई रेखाओं के दिक् अनुपात $(a, b, c)$ तथा $(b - c, c - a, a - b)$ हैं।
माना दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right|$
$\left[\because \cos \theta=\left|\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\right|\right]$
$=\left|\frac{a b-a c+b c-a b+c a-b c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right| = 0$
$\Rightarrow \cos \theta = 0$
$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} = 90^\circ$
अतः दोनों रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।
View full question & answer→Question 43 Marks
यदि एक समतल के अंतःखंड a, b, c हैं और इसकी मूल बिंदु से दूरी p इकाई हैं तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$
Answerअक्षों से क्रमशः a, b तथा c अंतःखंड काटने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $
$\Rightarrow\left(\frac{1}{a}\right) x+\left(\frac{1}{b}\right) y+\left(\frac{1}{c}\right)$ z - 1 = 0
दिया है, समतल की मूलबिंदु से दूरी p है।
$\therefore p=\frac{\left|\frac{1}{a} \cdot 0+\frac{1}{b} \cdot 0+\frac{1}{c} \cdot 0-1\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(\frac{1}{c}\right)^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{p}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}$
दोनों ओर का वर्ग करने पर, $\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$
View full question & answer→Question 53 Marks
बिंदु (1, 2, -4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं $\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ और $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$ पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerबिंदु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निम्न है,
$\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z+4}{c}$ ...(i)
जहाँ, a, b व c रेखा (i) के दिक् अनुपात हैं।
दी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ तथा $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$
उपरोक्त रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः (3, -16, 7) तथा (3, 8, -5) हैं तथा ये रेखा (i) के लंबवत् हैं।
$\therefore$ 3a - 16b + 7c = 0 ...(ii)
तथा 3a + 8b - 5c = 0 ...(iii)
वज्र गुणन विधि से, $\frac{a}{80-56}=\frac{b}{21+15}=\frac{c}{24+48}$
$\Rightarrow\frac{a}{24}=\frac{b}{36}=\frac{c}{72} $ $\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=\lambda$ (माना)
$\therefore$ a = 2$\lambda$, b = 3$\lambda$ तथा c = 6$\lambda$
अतः बिंदु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश $2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})$$+\lambda(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})$
View full question & answer→Question 63 Marks
बिंदु $(1, 2, 3)$ से जाने वाली तथा समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerमाना अभीष्ट रेखा का समीकरण सदिश $\vec{b}=\mathrm{b}_{1} \hat{{i}}+\mathrm{b}_{2} \hat{{j}}+\mathrm{b}_{3} \hat{{k}}$ के समांतर है। बिंदु $(1, 2, 3)$ का स्थित सदिश $\vec{a}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$ है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर जाने वाली तथा सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है,
$\vec{r}= \vec{a} + \lambda\vec{b}$
$\therefore \vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda\left(\mathrm{b}_{1} \hat{{i}}+\mathrm{b}_{2} \hat{{j}}+\mathrm{b}_{3} \hat{{k}}\right) ...(i)$
दिए गए समतल के समीकरण निम्न है,
$\vec{r}(\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) = 5 ...(i$i)
तथा $\vec{r} \cdot(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) = 6 ...(iii)$
चूँकि रेखा $(i)$ तथा समतल $(ii)$ समांतर है, अतः रेखा $(i)$ समतल के अभिलंब के लंबवत् होगी।
$\therefore (\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(b_1 + b_2 + 2b_3) = 0 \Rightarrow (b_1 - b_2 + 2b_3) = 0 ...(iv)$
इसी प्रकार, $(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(3b_1 + b_2 + b_3) = 0 \Rightarrow 3b_1 + b_2 + b_3 = 0 ...(v)$
समी $(iv)$ तथा $(v)$ से,
$\frac{b_{1}}{(-1) \times 1-1 \times 2}=\frac{b_{2}}{2 \times 3-1 \times 1}=\frac{b_{3}}{1 \times 1-3(-1)} \Rightarrow \frac{b_{1}}{-3}=\frac{b_{2}}{5}=\frac{b_{3}}{4} $
$\vec{b}$ के दिक् अनुपात $-3, 5$ तथा $4$ हैं।
$\therefore \vec{b}=b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}=-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
$\vec{b}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda(-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}})$
जोकि अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
View full question & answer→Question 73 Marks
बिंदु (-1, -5, -10) से रेखा $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ $+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ = 5 के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerदी गई रेखा का समीकरण निम्न है, $\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$$+\lambda(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ ...(i)
तथा समतल का समीकरण निम्न है, $\vec{r} \cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5 ...(ii)
समी (i) तथा (ii) के प्रतिच्छेद बिंदु के लिए
$[2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}+\lambda(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})]$ $\cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5
$\Rightarrow$ 2 + 1 + 2 + $\lambda$ (3 - 4 + 2) = 5
$\Rightarrow$ 5 + $\lambda$ = 5
$\Rightarrow$ $\lambda$ = 0
$\lambda$ = 0 समी (i) में रखने पर,
$\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
तथा $\vec{r}$ बिंदु (2, -1, 2) का स्थिति सदिश है।
बिंदुओं (-1, -5, -10) तथा (2, -1, 2) के बीच की दूरी
$=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5+1)^{2}+(-10-2)^{2}}$
$=\sqrt{9+16+144}$
$=\sqrt{169}=13$ इकाई
View full question & answer→Question 83 Marks
यदि O मूल बिंदु तथा बिंदु P के निर्देशांक (1, 2, -3), हैं तो बिंदु P से जाने वाले तथा OP के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
AnswerP तथा Q के निर्देशांक क्रमशः (0, 0, 0) तथा (1, 2, -3) हैं।
अतः OP के दिक् अनुपात निम्न है,
(1 - 0) = 1, (2 - 0) = 2 तथा (-3 - 0) = -3
यहाँ समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात 1, 2 तथा -3 हैं तथा बिंदु P(1, 2, -3) है, तब समतल का समीकरण निम्न है,
(x - 1)1 + (y - 2)2 + (z + 3) (-3) = 0
$\Rightarrow$ x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0
$\Rightarrow$ x + 2y - 3z - 14 = 0
View full question & answer→Question 93 Marks
यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर स्थित हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerबिंदु $(1, 1, p)$ की समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}-12 \hat{{k}}) + 13 = 0$ या $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी निम्न है,
$d_{1}=\left|\frac{3 \times 1+4 \times 1-12 \times p+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{3+4-12 p+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{20-12 p}{13}\right| ...(i)$
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी निम्न है,
$d_{2}=\left|\frac{3 \times(-3)+4 \times 0-12 \times 1+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-9+0-12+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{-8}{13}\right|=\frac{8}{13}$
प्रश्नानुसार $d_1 = d_2$
$\Rightarrow\left|\frac{20-12 p}{13}\right|=\frac{8}{13} $
$\Rightarrow \frac{20-12 p}{13}=\pm \frac{8}{13}$
धनात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow 20 - 12p = 8$
$\Rightarrow 12p = 12$
$\Rightarrow p = 1$
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow20 - 12p = -8$
$\Rightarrow 12p = 28$
$\Rightarrow p = \frac{28}{12}=\frac{7}{3}$
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उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से गुज़रने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
Answerबिंदुओं (3, -4, -5) तथा (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निम्न है,
$\frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z+5}{6}=\lambda$ (माना)
$\Rightarrow$ x = 3 - $\lambda$, y = $\lambda$ - 4, z = 6$\lambda$ - 5
अतः रेखा पर स्थित कोई बिंदु (3 - $\lambda$, $\lambda$ - 4, 6$\lambda$ - 5) है।
यह बिंदु समतल 2x + y + z = 7 पर स्थित है।
अतः 2(3 - $\lambda$) + ($\lambda$ - 4) + (6$\lambda$ -5) = 7 $\Rightarrow$ 5$\lambda$ - 3 = 7 $\Rightarrow$ $\lambda$ = 2
अतः अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक (3 - 2, 2 - 4, 6 $\times$ 2 - 5) अर्थात् (1, -2, 7) है।
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उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं $(5, 1, 6)$ और $(3, 4, 1)$ को मिलाने वाली रेखा $ZX-$तल को काटती है।
Answerहम जानते हैं कि समतल $ZX$ का समीकरण $y = 0$ है।
बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ तथा $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निम्न है,
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$
अतः बिंदुओं $(5, 1, 6)$ तथा $(3, 4, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निम्न है,
$\frac{x-5}{3-5}=\frac{y-1}{4-1}=\frac{z-6}{1-6}$
$\Rightarrow \frac{x-5}{-2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-6}{-5}=\lambda ($माना$)$
अतः इस रेखा पर कोई बिंदु निम्न है, $(5 - 2\lambda, 1 + 3\lambda, 6 - 5\lambda) ...(i)$
चूँकि, रेखा समतल $ZX$ से होकर जाती है।
$\therefore$ समी $(i)$ से,
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow\lambda=-\frac{1}{3} ...(ii)$
समी $(i)$ तथा $(ii)$ से अभीष्ट प्रतिच्छेद बिंदु निम्न है,
$\left(5+\frac{2}{3}, 0,6+\frac{5}{3}\right) =\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$
View full question & answer→Question 123 Marks
समतलों, जिनके सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$ हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए समतल के समीकरण निम्न हैं,
$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$
यदि समतल $\vec{r}_{1} \cdot \vec{n}_{1}=d_{1}$ और $\vec{r}_{2} \cdot \vec{n}_{2}=d_{2}$ पर अभिलंब क्रमशः $\vec{n}_{1}$ और $\vec{n}_{2}$ हैं, तब कोण
$\cos \theta = \left|\frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{\left|\vec{n}_{1}\right|\left|\vec{n}_{2}\right|}\right| ...(i)$
यहाँ $\vec{n}_{1}=2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ और $\vec{n}_{2}=3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
$\therefore \vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}) $
$= 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 = 6 - 6 - 15 = -15$
$\left|\vec{n}_{1}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$
$\left|\vec{n}_{2}\right|=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{9+9+25}=\sqrt{43}$
समी $(i)$ में, $\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}$ और $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}$ का मान रखने पर,
$\cos \theta = \left|\frac{-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{15}{\sqrt{731}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{15}{\sqrt{731}}\right)$
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तलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + 4z = 5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल $x - y + z = 0$ पर लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$x + y + z - 1 + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$\Rightarrow (1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - 1 - 5\lambda = 0 ...(i)$
समतल पर अभिलंब के दिक् अनुपात $a_1, b_1, c_1$ क्रमशः $(2\lambda + 1), (3\lambda + 1)$ तथा $(4\lambda + 1) $हैं।
समतल $x - y + z = 0$ के दिक् अनुपात $a_2, b_2, c_2$ क्रमशः $ 1, -1$ तथा $1$ हैं।
चूँकि समतल लंबवत् हैं।
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$
$\Rightarrow 1(1 + 2\lambda) - 1(1 + 3\lambda) + 1(1 + 4\lambda) = 0$
$\Rightarrow 1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$\Rightarrow 3\lambda = -1$
$\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}$
$\lambda$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(1-\frac{2}{3}\right) x+\left(1-\frac{3}{3}\right) y+\left(1-\frac{4}{3}\right) z-1+\frac{5}{3} = 0$
$\Rightarrow\frac{1}{3} x-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} = 0$
$\Rightarrow x - z + 2 = 0$
जो कि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
View full question & answer→Question 143 Marks
बिंदुओं (3, -2, -5), और (3, -2, 6) से गुज़रने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
Answerमाना $\vec a$ तथा $\vec b$ क्रमशः बिंदुओं, (3, -2, -5) तथा (3, -2, 6) के स्थिति सदिश हैं।
$\therefore$ $\vec{a}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं, जिनके स्थिति सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ हैं, से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda$ $(\vec{b}-\vec{a})$ है।
$\therefore \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})-(3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda$$[3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}-3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}]$
$\Rightarrow \vec{r}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}+\lambda(11 \hat{{k}})$ ...(i)
जोकि दी गई रेखा का सदिश समीकरण है
समी (i) में $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ का मान रखने पर,
$x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}=3 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}+(11 \lambda-5) \hat{{k}}$
समीकरण के दोनों ओर $\hat{{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
x = 3, y = -2 तथा z = 11$\lambda$ - 5
$\therefore \frac{x-3}{0}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+5}{11}$ (यहाँ, $\frac{x-3}{0} \neq \infty, \frac{y+2}{0} \neq \infty$)
जोकि दी गई रेखा का अभीष्ट कार्तीय रूप है।
View full question & answer→Question 153 Marks
दर्शाइए कि बिंदुओं $(4, 7, 8), (2, 3, 4)$ से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं $(-1, -2, 1), (1, 2, 5)$ से जाने वाली रेखा के समांतर है।
Answerदिए गए बिंदु $A(4, 7, 8), B(2, 3, 4), C(-2, -2, 2)$ तथा $D(2, 2, 5)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ निम्न हैं $(2 - 4), (3 - 7), (4 - 8)$
$\Rightarrow (-2, -4, -4)$
$\therefore a_1 = -2, b_1 = -4, c_1 = -4$
रेखा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ निम्न हैं $(1 + 1), (2 + 2), (5 - 1)$
$\Rightarrow (2, 4, 4)$
$\therefore a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = 4$
रेखा $AB, CD$ के समांतर होगी, यदि
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{2}=-1, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{4}=-1$
तथा $\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{-4}{4} = -1$
$\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः $AB || CD$
View full question & answer→Question 163 Marks
रेखाएँ, जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए$: \vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$
Answerदी गई रेखाओं के समीकरण को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं,
$\vec{r}=(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+t(-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=(\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})+s(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
उपरोक्त समीकरणों की तुलना $\vec{r}=\vec{a}_{1}+t \vec{b}_{1}$ तथा $\vec{r}=\vec{a}_{2}+s \vec{b}_{2}$ से करने पर,
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}, \vec{b}_{1}=-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}}$ तथा $a_2 = \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})=\hat{{j}}-4 \hat{{k}}$
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right| = (-2 + 4)\hat{i} - (2 + 2)\hat{j} + (-2 - 1)\hat{k}$
$=2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
$ \Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}$
$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$
$\therefore$ अभीष्ट न्यूनतम दूरी,
$d = \left|\frac{\left(\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{\mid(2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{j}}-4 \hat{{k}})}{\sqrt{29}}$
$=\frac{|-4+12|}{\sqrt{29}}$
$=\frac{8}{\sqrt{29}}$
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रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
Answerदी गई समीकरणें निम्न हैं, $\vec{r}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}}+\lambda(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}+\mu(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
जोकि समीकरण $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ तथा $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप के हैं।
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{b}_{1}=\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
तथा $\vec{a}_{2}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
अब, $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ = $(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}})=\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}} $
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|$ = $\hat{i}$ (-2 - 1) - $\hat{j}$ (2 - 2) + $\hat{k}$ (1 + 2) = -3$\hat{i}$ + 3$\hat{k}$
$\Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}$$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
न्यूनतम दूरी = $\left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|=\frac{|(-3) \times 1+0 \times(-3)+3 \times(-2)|}{3 \sqrt{2}}$
$=\frac{|(-3 \hat{{i}}+3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})|}{3 \sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}$ $=\frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ इकाई
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
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$p$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ $\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}$ परस्पर लंब हों।
Answerदी गई रेखाओं को उनके मानक रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है,
$\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2 p}{7}}=\frac{z-3}{2}$ तथा $\frac{x-1}{-\frac{3 p}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$
इन रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः $-3, \frac{2p}{7}, 2$ तथा $\frac{-3p}{7}, 1, -5$ हैँ।
दो रेखाएँ, जिनके दिक् अनुपात $a_1, b_1, c_1$ तथा $a_2, b_2, c_2$ हैं, परस्पर लंब होंगी, यदि
$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$
$\therefore (-3) \left(\frac{-3 p}{7}\right)+\left(\frac{2 p}{7}\right) (1) + (2) (-5) = 0$
$\Rightarrow\frac{9 p}{7}+\frac{2 p}{7} - 10 = 0$
$\Rightarrow \frac{11 p}{7} = 10$
$\Rightarrow p = \frac{70}{11}$
अतः $p$ का मान $\frac{70}{11}$ हैँ।
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दर्शाइए कि दिक्$-$कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
Answer
- प्रथम दो रेखाओं, जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ तथा $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ हैं, के लिए
$l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{12}{13} \times \frac{4}{13}+\left(\frac{-3}{13}\right) \times \frac{12}{13}+\left(\frac{-4}{13}\right) \times \frac{3}{13}$
$=\frac{48}{169}-\frac{36}{169}-\frac{12}{169} = 0$
अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
- द्वितीय तथा तृतीय रेखा जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ तथा $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ हैं, के लिए
$l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{4}{13} \times \frac{3}{13}+\frac{12}{13} \times\left(\frac{-4}{13}\right)+\frac{3}{13} \times \frac{12}{13}$
$=\frac{12}{169}-\frac{48}{169}+\frac{36}{169} = 0$
अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
- तृतीय तथा प्रथम रेखा, जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ तथा $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ हैं, के लिए
$l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{3}{13} \times \frac{12}{13}+\left(\frac{-4}{13}\right) \times\left(\frac{-3}{13}\right)+\frac{12}{13} \times\left(\frac{-4}{13}\right)$
$=\frac{36}{169}+\frac{12}{169}-\frac{48}{169}=\frac{36}{169}-\frac{36}{169} = 0$
अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
अतः सभी रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
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एक रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}$ है। इस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए समीकरण का मानक रूप $\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}$ से तुलना करने पर हम पाते हैं कि $x_1 = -3, y_1 = 5, z_1 = -6; a = 2, b = 4, c = 2$
इस प्रकार अभीष्ट रेखा बिंदु $(-3, 5, -6)$ से होकर जाती है तथा सदिश $2 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$ के समांतर है। मान लीजिए कि रेखा पर स्थित किसी बिंदु की स्थिति सदिश $\vec{r}$ है तो रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=(-3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ द्वारा प्रदत्त है।
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दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x-a+d}{\alpha-\delta}=\frac{y-a}{\alpha}=\frac{z-a-d}{\alpha+\delta}$ और $\frac{x-b+c}{\beta-\gamma}=\frac{y-b}{\beta}=\frac{z-b-c}{\beta+\gamma}$ सह$-$तलीय हैं।
Answerयहाँ ज्ञात है कि
$x_1 = a - d$ और $x_2 = b - c$
$y_1 = a, y_2 = b$
$z_1 = a + d, z_2 = b + c$
और $a_1 = \alpha-\delta, a_2 = \beta-\gamma$
$b_1 = \alpha, b_2 = \beta$
$c_1 = \alpha+\delta, c_2 = \beta+\gamma$
अब सारणिक
$\left|\begin{array}{ccc} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{ccc} b-c-a+d & b-a & b+c-a-d \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{array}\right|$
पर विचार कीजिए।
तीसरे स्तंभ को पहले स्तंभ में जोड़ने पर हम पाते हैं।
$2\left|\begin{array}{ccc} b-a & b-a & b+c-a-d \\ \alpha & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta & \beta & \beta+\gamma \end{array}\right|=0$
क्योंकि प्रथम और द्वितीय स्तंभ समान हैं। अतः दोनों रेखाएँ सह-तलीय हैं।
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बिंदु P(6, 5, 9) से बिंदुओं A(3, -1, 2), B(5, 2, 4) और C(-1, -1, 6) द्वारा निर्धारित समतल की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि समतल में तीन बिंदु A, B, तथा C हैं। बिंदु P से समतल पर लंब का पाद D है। हमें अभीष्ट दूरी PD ज्ञात करनी है जहाँ PD, $ \vec{AP}$ का $\vec{AB} \times \vec{AC}$ पर प्रक्षेप है।
अतः PD = $\vec{AB} \times \vec{AC}$ के अनुदिश इकाई सदिश तथा $ \vec{AP}$ का अदिश गुणनफल है।
पुनः $ \vec{AP}$ = $3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}$
और $\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & 4 \end{array}\right|$ $=12 \hat{i}-16 \hat{j}+12 \hat{k}$
$\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}$ के अनुदिश इकाई सदिश $=\frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
अतः $\vec{{PD}}=(3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}) \cdot \frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
= $\frac{3 \sqrt{34}}{17}$
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उस तल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु (1, -1, 2) अंतर्विष्ट है और जो समतलों 2x + 3y - 2z = 5 और x + 2y - 3z = 8 में से प्रत्येक पर लंब है।
Answerदिए गए बिंदु को अंतर्विष्ट करने वाले समतल का समीकरण
A(x - 1) + B(y + 1) + C(z - 2) = 0 है। ...(i)
समतलों 2x + 3y - 2z = 5 और x + 2y - 3z = 8, के साथ (i) द्वारा प्रदत्त समतल पर लंब होने के प्रतिबंध का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि 2A + 3B - 2C = 0 और A + 2B - 3C = 0
इन समीकरणों को हल करने पर हम पाते हैं कि A = -5C और B = 4C
अतः अभीष्ट समीकरण है:
-5C(x - 1) + 4C(y + 1) + C(z - 2) = 0
अर्थात् 5x - 4y - z = 7
View full question & answer→Question 243 Marks
रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ और समतल $10x + 2y - 11z = 3$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि रेखा ओर समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\theta$ है। दिए गए रेखा तथा समतल के समीकरणों को सदिश रूप में व्यक्त करने पर हम
$\vec{r}=(-\hat{i}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ और $\vec{r} \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})=3$ प्राप्त करते हैं।
यहाँ $\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$ और $\vec{n}=10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k}$
अतः $\sin \phi=\left|\frac{(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(10 \hat{i}+2 \hat{j}-11 \hat{k})}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}} \sqrt{10^{2}+2^{2}+11^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-40}{7 \times 15}\right|$
$=\left|\frac{-8}{21}\right|=\frac{8}{21}$ या $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$
View full question & answer→Question 253 Marks
दो समतलों $3x - 6y + 2z = 7$ और $2x + 2y - 2z = 5$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answerसमतलों की ज्ञात समीकरणों की तुलना समीकरणों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x_{ }+ B_2y + C_2z + D_2 = 0$ से करने पर हम पाते हैं कि:
$A_1 = 3, B_1 = -6, C_1 = 2$
$A_2 = 2, B_2 = 2, C_2 = -2$
पुनः $\cos \theta$ = $\left|\frac{3 \times 2+(-6)(2)+(2)(-2)}{\sqrt{\left(3^{2}+(-6)^{2}+(-2)^{2}\right) \sqrt{\left(2^{2}+2^{2}+(-2)^{2}\right)}}}\right|$
$=\left|\frac{-10}{7 \times 2 \sqrt{3}}\right|$
$=\frac{5}{7 \sqrt{3}}$
$=\frac{5 \sqrt{3}}{21}$
इसलिए $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5 \sqrt{3}}{21}\right)$
View full question & answer→Question 263 Marks
दो समतलों $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के बीच का कोण सदिश विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
Answerदो समतलों के बीच का कोण वही है जो उनके अभिलंबों के बीच का कोण है। समतलों के दिए गए समीकरणों से समतलों के सदिश अभिलंब $\vec{\mathrm{N}}_{1}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{\mathrm{N}}_{2}=3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
इसलिए $\cos\theta$ = $\left|\frac{\vec{\mathrm{N}}_{1} \cdot \vec{\mathrm{N}}_{2}}{\left|\vec{\mathrm{N}}_{1}\right|\left|\vec{\mathrm{N}}_{2}\right|}\right|=\left|\frac{(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{9+36+4}}\right|=\left(\frac{4}{21}\right)$
अतः $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$
View full question & answer→Question 273 Marks
दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$ तथा $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{5}$ सह$-$तलीय हैं।
Answerयहाँ हमें ज्ञात है कि $x_1 = -3, y_1 = 1, z_1 = 5, a_1 = -3, b_1 = 1, c_1 = 5; x_2 = -1, y_2 = 2, z_2 = 5, a_2 = -1, b_2 = 2, c_2 = 5$
अब निम्नलिखित सारणिक लेने पर हम पाते हैं कि
$\left|\begin{array}{ccc} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{rcc} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right|=0$
इसलिए रेखाएँ सम$-$तलीय हैं।
View full question & answer→Question 283 Marks
समतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि तल के अभिलंब के दिक्-अनुपात 2, -3, 4 हैं इसलिए इसकी दिक्-कोसाइन हैं:
$\frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}}, \frac{-3}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}}$, $\frac{4}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}},$ अर्थात् $\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}$
इसलिए समीकरण 2x - 3y + 4z - 6 = 0 अर्थात् 2x - 3y + 4z = 6 को $\sqrt{29}$ से भाग करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{2}{\sqrt{29}} x+\frac{-3}{\sqrt{29}} y+\frac{4}{\sqrt{29}} z=\frac{6}{\sqrt{29}}$
और यह lx + my + nz = d, के रूप में है जहाँ मूल बिंदु से समतल की दूरी d है। इसलिए समतल की मूल बिंदु से दूरी $\frac{6}{\sqrt{29}}$ है।
View full question & answer→Question 293 Marks
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएं $\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{3 p}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}$ परस्पर लंब है।
Answerरेखाओं को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में बदलने पर:
$L_1: \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{3 p / 7}=\frac{z-3}{2} \rightarrow$ दिक्-अनुपात $\left(-3, \frac{3 p}{7}, 2\right)$
$L_2: \frac{x-1}{-3 p / 7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5} \rightarrow$ दिक्-अनुपात $\left(-\frac{3 p}{7}, 1,-5\right)$
लंबवत की शर्त $\left(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0\right):(-3) \times\left(-\frac{3 p}{7}\right)+\left(\frac{3 p}{7}\right) \times(1)+(2) \times(-5)=0$
$\frac{9 p}{7}+\frac{3 p}{7}-10=0$
$\Longrightarrow \frac{12 p}{7}=1012 p=70$
$\Longrightarrow p=\frac{70}{12}=\frac{35}{6}$
$p=\frac{35}{6}$
View full question & answer→Question 303 Marks
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4, 7, 8) (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (-1, -2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
Answerपहली रेखा $\left(L_1\right)$ के दिक्-अनुपात: बिन्दु $A(4,7,8)$ और $B(2,3,4)$ से जाने वाली रेखा के लिए: $a_1=2-4=-2 b_1=3-7=-4 c_1=4-8=-4$
दूसरी रेखा $\left(L_2\right)$ के दिक्-अनुपात: बिन्दु $C(-1,-2,1)$ और $D(1,2,5)$ से जाने वाली रेखा के लिए: $a_2=1-(-1)=2 b_2=2-(-2)=4 c_2=5-1=4$
समांतर होने की शर्त $\left(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\right): \frac{-2}{2}=-1, \quad \frac{-4}{4}=-1, \quad \frac{-4}{4}=-1$
निष्कर्ष: चूँकि दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं, अतः रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।
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