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सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc} a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2} \end{array}\right| = 4a^2b^2c^2$
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q \end{array}\right| = 1$
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c \end{array}\right| = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)$
सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग करके $\left|\begin{array}{lll} x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3} \end{array}\right| = (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)$ को सिद्ध कीजिए।
यदि $A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{array}\right]$ और B = $ \left[\begin{array}{ll} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{array}\right]$ है तो सत्यापित कीजिए कि $(AB)^{-1 }= B^{-1}A^{-1 }$ है।
तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके $ \Delta = \left|\begin{array}{lll} 1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके $\Delta = \left|\begin{array}{lll} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि सारणिक
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b x & c+d x & p+q x \\ a x+b & c x+d & p x+q \\ u & v & w \end{array}\right| = (1 - x^2)\left|\begin{array}{ccc} a & c & p \\ b & d & q \\ u & v & w \end{array}\right|$
दर्शाइए कि सारणिक $\Delta$ = $\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x y & z x \\ x y & (x+z)^{2} & y z \\ x z & y z & (x+y)^{2} \end{array}\right| = 2xyz (x + y + z)^3$
यदि $a, b, c$ धनात्मक और भिन्न हैं तो दिखाइए कि सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}\right|$ का मान ऋणात्मक है।
प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ समीकरण $A^2 - 4A + I =O,$ जहाँ I $2 \times 2$ कोटि का एक तत्समक आव्यूह है और $O, 2 \times 2$ कोटि का एक शून्य आव्यूह है। इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3} \end{array}\right| = 0,$ तो दर्शाइए कि $1 + xyz = 0$
सिद्ध कीजिये कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 2 a & 3 a+2 b & 4 a+3 b+2 c \\ 3 a & 6 a+3 b & 10 a+6 b+3 c \end{array}\right| = a^3$
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक
$ \Delta$ = $ \left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|= 0$ हो तो दर्शाइए कि या तो $a + b + c = 0$ या $a = b = c$ है।
$4 \ kg$ प्याज, $3 \ kg$ गेहूँ और $2 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 60$ है। $2 \ kg$ प्याज, $4 \ kg$ गेहूँ और $6\ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 90$ है। $6\ kg$ प्याज, $2 \ kg$ और $3 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 70$ है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति $\ kg$ ज्ञात कीजिए।
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