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दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के परिमाण क्रमश: $\sqrt{3}$ एवं 2 हैं और $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\sqrt{6}$ है तो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
दिए हुए सदिशों $\vec{a}$ = $2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, के लिए, सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं P$(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ और Q$(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं P$(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ और Q$(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
x, y और z के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $\vec{a}$ = x$ \hat{i}$ + 2$ \hat{j}$ + z$ \hat{k}$ और $\vec{b}$ = 2$ \hat{i}$ + y$ \hat{j}$ + $ \hat{k}$ समान हैं।
यदि परस्पर लंबवत् मात्रक सदिशों $\hat{i}$, $\hat{j}$ और $\hat{k}$, की दक्षिणावर्ती पद्धति के सापेक्ष $\vec{\alpha}$ = $3 \hat{i}-\hat{j}$, $\vec{\beta}$ = $2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$, तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta}$ = $\vec{\beta}_{1}+\vec{\beta}_{2}$ के रूप में अभिव्यक्त कीजिए जहाँ $\vec{\beta}_{1}, \vec{\alpha}$ के समांतर है और $\vec{\beta}_{2}, \vec{\alpha}$ के लंबवत् है।
तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ प्रतिबंध $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4$ और $|\vec{c}| = 2 $ तो राशि $\mu = \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$ और इनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लंबवत् हैं तो, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमश: $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}+5 \hat{j}$, $3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\hat{i}-6 \hat{j}-\hat{k}$ है, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगमन कीजिए कि AB और CD संरेख हैं।
उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ $\vec{a}$ = 3$ \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं।
सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ में से प्रत्येक के लंबवत् मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}$ = $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}$ = $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
यदि $\vec{a}$ = 5$ \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$, तो दर्शाइए कि सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ लंबवत् है।
सदिशों $\vec{a}$ = $2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के परिणामी के समांतर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।
एक लड़की पश्चिम दिशा में $4 \ km$ चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से $30^\circ$ पश्चिम की दिशा में $3 \ km$ चलती है और रूक जाती है। प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमश: (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2)हैं तो $\angle$ ABC ज्ञात कीजिए। [$\angle$ ABC, सदिशों $\vec{{BA}}$ एवं $\vec{{BC}}$ के बीच का कोण है]
यदि $\vec{a}$ = $2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $\vec{b}$ = $-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}$ = $3 \hat{i}+\hat{j}$ इस प्रकार है कि $\vec{a}$ + $\lambda \vec{b}$, $\vec{c}$ पर लंब है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
दो बिंदुओं P$(2 \vec{a}+\vec{b})$ और Q$(\vec{a}-3 \vec{b})$ को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।
यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।
सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का, सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ के बराबर है तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए $\vec{a}$ = $\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}$ = $3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{c}$ = $2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ एक ऐसा सदिश $\vec{d}$ ज्ञात कीजिए जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंब है और $\vec{c} \cdot \vec{d}$ = 15.
एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमश: $a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$, $b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$, $c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$ के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})$ = $\vec{a} \times \vec{b}$ + $\vec{a} \times \vec{c}$
यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}, \hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}, \hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ साथ एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से $\vec{a}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।
सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}$ = $3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है, $\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।
दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मात्रक सदिश इस प्रकार है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \overrightarrow{0}$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C,$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
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