$4x + 8y + z - 8 = 0$ और $y + z - 4 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
$2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
$2x - 2y + 4z + 5 = 0$ और $3x - 3y + 6z - 1 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
$2x + y + 3z - 2 = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
$7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यदि दो परस्पर लंब रेखाओं की दिक्$-$कोसाइन $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्$-$कोसाइन $m_1n_2 - m_2n_1, n_1l_2 - n_2l_1, l_1m_2 - l_2m_{1}$ हैं।
बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $2 \hat{i}-j+4 \hat{k}$ से गुज़रने व सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda\ (\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu\ (3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})$ और $\vec{r}=7 \hat{i}-6 \hat{k}+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$
दिए गए रेखा$-$युग्म $\vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})$ के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $\frac{6}{\sqrt{29}}$ की दूरी पर है और मूल बिंदु से इसका अभिलंब सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ है।
निम्नलिखित दी गई रेखाओं $l_1$ और $l_2: \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ और $\vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ और $(2, 9, 2)$ हैं तो $AB$ और $CD$ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यदि एक समतल के अंतःखंड a, b, c हैं और इसकी मूल बिंदु से दूरी p इकाई हैं तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$
बिंदु (1, 2, -4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं $\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ और $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$ पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से जाने वाली तथा समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (-1, -5, -10) से रेखा $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ $+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ = 5 के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर स्थित हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
समतलों, जिनके सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$ हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ, जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए$: \vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$
रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
दर्शाइए कि दिक्$-$कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x-a+d}{\alpha-\delta}=\frac{y-a}{\alpha}=\frac{z-a-d}{\alpha+\delta}$ और $\frac{x-b+c}{\beta-\gamma}=\frac{y-b}{\beta}=\frac{z-b-c}{\beta+\gamma}$ सह$-$तलीय हैं।
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